Расчет разветвленной цепи постоянного тока

1. В рассматриваемой схеме (рис. 1.1) четыре узла (y=4) и шесть ветвей с неизвестными токами (b=6). Для определения шести неизвестных необходимо составить по законам Кирхгофа систему из шести уравнений.
По первому закону Кирхгофа следует составить y-1=3 уравнения. По второму закону Кирхгофа следует составить b-(y-1)=3 уравнения для трех независимых контуров. Зададимся направлениями токов, обозначим узлы, определим независимые контуры и направления обхода. Запишем уравнения по законам Кирхгофа:
I1+I2-I4=01-I2-I3+I6=02-I1+I3+I5=03I1R1-I2R2+I3R3=E1-E2+E3II2R2+I4R4+I6R6=E2-E4II-I3R3+I5R5-I6R6=-E3+E5III
2. Определим токи в ветвях методом контурных токов. Зададимся направлениями контурных токов (I11, I22, I33) в независимых контурах схемы (рис. 1.2).
Рис. 1.2
Для определения трех неизвестных контурных токов необходимо составить по второму закону Кирхгофа систему из трех уравнений:
I11R1+R2+R3-I22R2-I33R3=E1-E2+E3-I11R2+I22R2+R4+R6-I33R6=E2-E4-I11R3-I22R6+I33R3+R5+R6=-E3+E5
Подставляем в полученную систему значения ЭДС и сопротивлений:
I1116+10+20-10I22-20I33=80-100+60-10I11+I2210+6+22-22I33=100-50-20I11-22I22+I3320+18+22=-60+90
46I11-10I22-20I33=40-10I11+38I22-22I33=50-20I11-22I22+60I33=30
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера . Вычисляем главный определитель системы:
Δ=46-10-20-1038-22-20-2260=46∙38∙60-10∙-22∙-20-20∙-10∙-22--20∙38∙-20-46∙-22∙-22--10∙-10∙60=52616
Заменяем коэффициенты при соответствующих неизвестных свободными членами и вычисляем определители ∆1, ∆2 и ∆3:
Δ1=40-10-205038-2230-2260=40∙38∙60+50∙-22∙-20+30∙-10∙-22-30∙38∙-20-40∙-22∙-22-50∙-10∙60=153240
Δ2=4640-20-1050-22-203060=46∙50∙60-10∙30∙-20-20∙40∙-22--20∙50∙-20-46∙30∙-22--10∙40∙60=195960
Δ3=46-1040-103850-20-2230=46∙38∙30-10∙-22∙40-20∙-10∙50--20∙38∙40-46∙-22∙50--10∙-10∙30=149240
По формулам Крамера определяем контурные токи:
I11=Δ1Δ=15324052616=2,912 А
I22=Δ2Δ=19596052616=3,724 А
I33=Δ3Δ=14924052616=2,836 А
Определим токи в ветвях цепи:
I1=I11=2,912 А
I2=-I11+I22=-2,912+3,724=0,812 А
I3=I11-I33=2,912-2,836=0,076 А
I4=I22=3,724 А
I5=I33=2,836 А
I6=I22-I33=3,724-2,836=0,888 А
3. Правильность решения проверим по второму закону Кирхгофа по двум контурам: I и II.
I2R2+I4R4+I6R6=E2-E4
0,812∙10+3,724∙6+0,888∙22=100-50
50 В=50 В
-I3R3+I5R5-I6R6=-E3+E5
-0,076∙20+2,836∙18-0,888∙22=-60+90
30 В=30 В
3. Составим баланс мощностей.
Определяем суммарную мощность источников энергии:
ΣPист=E1I1+E2I2+E3I3+E4I4+E5I5=80∙2,912+100∙0,812+60∙0,076+50∙3,724+90∙2,836=387,806 Вт
Определяем суммарную мощность потребителей энергии:
ΣPпотр=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6=2,9122∙16+0,8122∙10+0,0762∙20+3,7242∙6+2,8362∙18+0,8882∙22=387,806 Вт
Баланс мощностей:
ΣPист=ΣPпотр
387,806 Вт=387,806 Вт
5