Расчет разветвленной цепи постоянного тока с несколькими источниками электрической энергии

Схема содержит У=4 узлов (1, 2, 3, 4) и В=6 ветвей (рис.2). Таким образом, по первому закону Кирхгофа необходимо составить У-1=3 уравнений, по второму К=В-У+1=6-4+1=3 уравнений для контуров I, II и III. Произвольно обозначаем на схеме положительные направления токов, узлы, штриховой линией указываем направления обхода контуров (например, по часовой стрелке) и составляем систему уравнений по законам Кирхгофа (рис.2.2):
Рис.2.2. Схема к законам Кирхгофа
I2+I3-I5=0-для узла 1I1-I3-I4=0-для узла 2I4+I5-I6=0-для узла 3-I3R3+I4R4-I5R5=0-для контура 1-I1R1-I4R4-I6R6=-E1-для контура 2I2R2+I5R5+I6R6=E2-для контура 3
Для решения методом контурных токов обозначим три независимых контура. Указываем направления контурных токов в независимых контурах (пунктиром – рис.2.3).
Рис.2.3. Расчетная схема к методу контурных токов
Составляем систему уравнений
I11R3+R4+R5-I22R4-I33R5=0I22R1+R4+R6-I11R4-I33R6=-E1I33R2+R5+R6-I11R5-I22R6=E2
Подставляем исходные данные
I1122+17+14-17I22-14I33=0I223+17+13-17I11-13I33=-110I332+14+13-14I11-13I22=150
Упрощаем
53I11-17I22-14I33=0-17I11+33I22-13I33=-110-14I11-13I22+29I33=150
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
Где из составленной выше системы уравнений собственные контурные сопротивления, определяемые суммой сопротивлений приемников в каждом контуре:
R11=R3+R4+R5=53
R22=R1+R4+R6=33
R33=R2+R5+R6=29
Смежные контурные сопротивления, определяемые сопротивлениями приемников, содержащихся в ветви, смежной для двух контуров, составляют:
R12=R21=-R4=-17;
R13=R31=-R5=-14
R23=R32=-R6=-13
Находим
∆=53-17-14-1733-13-14-1329=53∙33∙29+-17∙-13∙-14+-17∙-13∙-14--14∙33∙-14--17∙-17∙29--13∙-13∙53=50721-3094-3094-6468-8381-8957=20727
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=0-17-14-11033-13150-1329=28200
∆2=530-14-17-110-13-1415029=-8460
∆3=53-170-1733-110-14-13150=117030
Находим контурные токи
I11=∆1∆=2820020727=1,361 А
I22=∆2∆=-846020727=-0,408 А
I33=∆3∆=11703020727=5,646 А
Определяем значения токов в ветвях по их выбранным направлениям (рис.2.3)
I1=-I22=--0,408=0,408 A
I2=I33=5,646 А
I3=-I11=-1,361 A
I4=I11-I22=1,361--0,408=1,769 A
I5=I33-I11=5,646-1,361=4,285 А
I6=I33-I22=5,646--0,408=6,054 А
Отрицательное значение тока I3 означает, что его действительное направление противоположно тому, что было выбрано на рис.2.3.
Проверяем результат по уравнению баланса мощностей
Pист=E1I1+E2I2
Pист=110∙0,408 +150∙5,646=891,78 Вт
Pпотр=I12R1+I22R2+I32R3+I42R4+I52R5+I62R6
Pпотр=0,4082∙3+5,6462∙2+1,3612∙22+1,7692∙17+4,2852∙14+6,0542∙13=891,723 Вт
Получили, что
Pист≈Pпотр
891,78 Вт≈891,723 Вт
С незначительной погрешностью от округлений промежуточных значений баланс выполняется.
Определим режимы работы активных элементов
E1∙I1=110∙0,408=44,88 Вт>0 – источник E1 работает в режиме генератора (т.е