Расчет разветвленной цепи переменного синусоидального тока
Содержание задания: определить токи в ветвях, построить векторную диаграмму, составить баланс активных и реактивных мощностей, определить активную мощность W на участке AB цепи, написать условие возникновения резонанса напряжений (и токов, если таковое возможно), записать мгновенное значение тока источника.
Дано: ω=103 радс; R1=20 Ом; L1=30 мГн; R2=10 Ом; L2=25 мГн; C3=100 мкФ; C4=25 мкФ; Um=100 В; ψU=20°.
Решение
Показания приборов есть результат моделирования (значения эффективные).
Частота переменного тока:
f=ω2π=1032π=159,155 Гц
Сопротивления реактивных элементов цепи:
XL1=ωL1=103∙30=30 Ом
XL2=ωL2=103∙25=25 Ом
XC3=1ωC3=1103∙100∙10-6=10 Ом
XC4=1ωC4=1103∙25∙10-6=40 Ом
Полные комплексные сопротивления ветвей цепи:
Z1=R1+jXL1-jXC4=20+j30-j40=20-j10=22,361e-j26,565° Ом
Z2=R2+jXL2=10+j25=26,926ej68,199° Ом
Z3=-jXC3=-j10 =10e-j90° Ом
Комплексное сопротивление участка с параллельным соединением ветвей:
Z23=Z2∙Z3Z2+Z3=26,926ej68,199° ∙10e-j90°10+j25-j10 =269,258e-j21,801°10+j15=269,258e-j21,801°18,028ej56,31°=14,936e-j78,111°=3,077-j14,615 Ом
Эквивалентное комплексное сопротивление всей цепи:
Z=Z1+Z23=20-j10+3,077-j14,615=23,077-j24,615=33,741e-j46,848° Ом
Комплексное эффективное значение входного напряжения:
U=Uejψu2=100ej20°2=70,711ej20°=66,446+j24,184 В
Комплексное эффективное значение тока в неразветвленной части цепи:
I1=UZ=70,711ej20°33,741e-j46,848°=2,096ej66,848°=0,824+j1,927 А
Комплексное эффективное значение напряжения на участке с параллельным соединением ветвей:
U23=I1∙Z23=2,096ej66,848°∙14,936e-j78,111°=31,301e-j11,264°=30,698-j6,114 В
Комплексные эффективные значения токов в параллельных ветвях:
I2=U23Z2=31,301e-j11,264° 26,926ej68,199°=1,162e-j79,462°=0,213-j1,143 А
I3=U23Z3=31,301e-j11,264° 10e-j90°=3,13ej78,736°=0,611+j3,07 А
Комплексные эффективные значения напряжений на элементах цепи:
UR1=I1∙R1=2,096ej66,848°∙20=41,914ej66,848°=16,48+j38,538 В
UL1=I1∙jXL1=2,096ej66,848°∙30ej90°=62,871ej156,848°=-57,807+j24,719 В
UR2=I2∙R2=1,162e-j79,462°∙10=11,625e-j79,462°=2,126-j11,429 В
UL2=I2∙jXL2=1,162e-j79,462°∙25ej90°=29,062ej10,538°=28,572+j5,315 В
UC3=U23=31,301e-j11,264°=30,698-j6,114 В
UC4=I1∙-jXC4=2,096ej66,848°∙40e-j90°=83,827e-j23,152°=77,076-j32,959 В
Строим векторную диаграмму токов и напряжений
. Масштаб: mU=10 Всм; mI=0,5Асм.
Полная, активная и реактивная мощности источника:
Sист=U∙I*1=70,711ej20°∙2,096e-j66,848°=148,187e-j46,848°=101,351-j108,108 ВА
Pист=101,351 Вт
Qист=-108,108 вар
Активная и реактивная мощности потребителей:
Pпотр=I12∙R1+I22∙R2=2,0962∙20+1,1622∙10=101,351 Вт
Qпотр=I12∙XL1-XC4+I22∙XL2+I32∙-XC3=2,0962∙30-40+1,1622∙25+3,132∙-10=-108,108 вар
Баланс активных и реактивных мощностей:
Pист=Pпотр
101,351 Вт=101,351 Вт
Qист=Qпотр
-108,108 вар=-108,108 вар
Активная мощность на участке AB цепи:
PAB=I22∙R2=1,1622∙10=13,514 Вт
Резонанс токов в цепи возникает при условии:
xL2r22+xL22+-xC3-xC32=0
Запишем выражение для комплексной входной проводимости параллельного участка этой цепи:
Y=1R2+jωL2+1-jωC3=R2-jωL2R2+jωL2R2-jωL2-jωC3j2==R2-jωL2R22+ωL22+jωC3=R2R22+ωL22+j-ωL2R22+ωL22+ωC3=Gω+jBω,
Bω=-ωL2R22+ωL22+ωC3
Определим резонансную частоту параллельного участка из условия Bω0=0, т.е.
-ω0L2R22+ω0L22+ω0C3=0
Решая это уравнение относительно ω0, получим:
ω0=489,898 радс
Проверка:
Bω0=-ω0L2R22+ω0L22+ω0C3=-489,898∙25∙10-3102+489,898∙25∙10-32+489,898∙100∙10-6=0
Запишем выражение для входного комплексного сопротивления всей цепи:
Z=R1+jωL1-jωC4+R2+jωL2∙-jωC3R2+jωL2-1ωC3=R1+jωL1-jωC4+R2+jωL2∙-jωC3∙R2-jωL2-1ωC3R2+jωL2-1ωC3∙R2-jωL2-1ωC3=R1+jωL1-jωC4+-jR2ωC3+L2C3∙R2-jωL2+jωC3R22+ωL2-1ωC32=R1+jωL1-jωC4+-jR22ωC3+R2L2C3-R2L2C3-jωL22C3+R2ωC32+jL2ωC32R22+ωL2-1ωC32=R1+R2ωC32R22+ωL2-1ωC32+jωL1-1ωC4+-R22ωC3-ωL22C3+L2ωC32R22+ωL2-1ωC32=Rω+jXω,
где
Xω=ωL1-1ωC4+-R22ωC3-ωL22C3+L2ωC32R22+ωL2-1ωC32
Определим резонансную частоту из условия Xω0=0, т.е.
ω0L1-1ω0C4+-R22ω0C3-ω0L22C3+L2ω0C32R22+ω0L2-1ω0C32=0
Решая это уравнение относительно ω0, получим:
ω0=1323,694 радс
Проверка:
Xω0=ω0L1-1ω0C4+-R22ω0C3-ω0L22C3+L2ω0C32R22+ω0L2-1ω0C32=1323,694∙30∙10-3-11323,694∙25∙10-6+-1021323,694∙100∙10-6-1323,694∙25∙10-32100∙10-6+30∙10-31323,694∙100∙10-62102+1323,694∙30∙10-3-11323,694∙100∙10-62=0
Мгновенное значение тока источника:
i1t=I1msinωt+ψi1=2,0962sin103t+66,848°=2,964sin103t+66,848° А
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
