Расчет разветвленной цепи переменного синусоидального тока

Угловая частота переменного тока:
ω=2∙π∙f=2∙π∙60=376,991 радс
Реактивные сопротивления элементов:
XL2=ω∙L2=376,991∙0,35=131,947 Ом
XC1=1ω∙C1=1376,991∙150∙10-6=17,684 Ом
XC2=1ω∙C2=1376,991∙170∙10-6=15,603 Ом
Комплексные действующие значения ЭДС:
E1=E1m2ejψe1=262e-j30°=18,385e-j30°=15,922-j9,192 В
E2=E2m2ejψe2=242ej210°=16,971e-j150°=-14,697-j8,485 В
Задаем стрелками положительные направления токов в ветвях схемы, обозначаем узлы (рис. 2).
Рис. 2
В рассматриваемой схеме четыре узла (y=4) и шесть ветвей (b=6).
По первому закону Кирхгофа следует составить y-1=3 независимых уравнений. По второму закону Кирхгофа следует составить b-(y-1)=3 независимых уравнения для трех независимых замкнутых контуров I, II, III (рис. 2). Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа (направление обхода контуров – против часовой стрелки):
I2-I3-I6=0aI1-I2+I5=0b-I1+I3+I4=0cR1I1+R2-jXC2I2+R3I3=E1I-R3I3+R4+jXL2I4+R6I6=-E2II-R1I1-R4+jXL2I4+R5-jXC1I5=0III
Задаем стрелками положительные направления контурных токов (I11, I22, I33) в независимых контурах схемы (рис. 3).
Рис. 3
Записываем по методу контурных токов систему из b-(y-1)=3 уравнений:
R1+R2-jXC2+R3I11-R3I22-R1I33=E1-R3I11+R3+R4+jXL2+R6I22-R4+jXL2I33=-E2-R1I11-R4+jXL2I22+R1+R4+jXL2+R5-jXC1I33=0
Принимаем потенциал узла d равным нулю (φd=0), тогда неизвестными будут потенциалы узлов a, b, c.
Записываем по методу узловых потенциалов в общем виде систему из y-1=3 уравнений:
1R2-jXC2+1R3+1R6φa-1R2-jXC2φb-1R3φc=E1R2-jXC2+E2R6-1R2-jXC2φa+1R1+1R2-jXC2+1R5-jXC1φb-1R1φc=-E1R2-jXC2-1R3φa-1R1φb+1R1+1R3+1R4+jXL2φc=0
Определим токи в ветвях методом контурных токов . Подставим в составленную ранее систему числовые значения:
17+2-j15,603+14I11-14I22-17I33=15,922-j9,192-14I11+14+35+j131,947+17I22-35+j131,947I33=--14,697-j8,485-17I11-35+j131,947I22+17+35+j131,947+21-j17,684I33=0
33-j15,603I11-14I22-17I33=15,922-j9,192-14I11+66+j131,947I22-35+j131,947I33=14,697+j8,485-17I11-35+j131,947I22+73+j114,263I33=0
Решаем полученную систему в ПО Mathcad матричным методом:
Таким образом, контурные токи:
I11=0,659+j0,415=0,779ej32,164° А
I22=0,42+j0,367=0,557ej41,151° А
I33=0,378+j0,438=0,579ej49,213° А
Выразим комплексные действующие значения токов в ветвях цепи через контурные токи:
I1=I11-I33=0,659+j0,415-0,378+j0,438=0,281-j0,024=0,282e-j4,856° А
I2=I11=0,659+j0,415=0,779ej32,164° А
I3=I11-I22=0,659+j0,415-0,42+j0,367=0,24+j0,048=0,245ej11,313° А
I4=I22-I33=0,42+j0,367-0,378+j0,438=0,041-j0,072=0,083e-j60,156° А
I5=I33=0,378+j0,438=0,579ej49,213° А
I6=I22=0,42+j0,367=0,557ej41,151° А
Проверим решение по балансу мощностей. Комплексная мощность источников энергии:
Sист=E1∙I*2-E2∙I*6=18,385e-j30°∙0,779e-j32,164°-16,971e-j150°∙0,557e-j41,151°=21,559e-j42,232°=15,963-j14,491 ВА
Активная и реактивная мощности источников энергии:
Pист=ReSист=Re15,963-j14,491=15,963 Вт
Qист=ImSист=Im15,963-j14,491=-14,491 вар
Комплексная мощность потребителей энергии:
Sпотр=I12∙R1+I22∙R2-jXC2+I32∙R3+I42∙R4+jXL2+I52∙R5-jXC1+I62∙R6=0,2822∙17+0,7792∙2-j15,603+0,2452∙14+0,0832∙35+j131,947+0,5792∙21-j17,684+0,5572∙17=21,559e-j42,232°=15,963-j14,491 ВА
Активная и реактивная мощности потребителей энергии:
Pпотр=ReSпотр=Re15,963-j14,491=15,963 Вт
Qпотр=ImSпотр=Im15,963-j14,491=-14,491 вар
Баланс мощностей:
Pист=Pпотр
15,963 Вт=15,963 Вт
Qист=Qпотр
-14,491 вар=-14,491 вар
Включим ваттметры для измерения активной мощности источников E1 и E2 (рис