Расчет рамы методом сил
Для рамы (рис. 23) с выбранными размерами и нагрузкой, требуется:
а)построить эпюры изгибающих моментов, поперечных и продольных сил;
б)проверить правильность построенных эпюр.
Исходные данные:
P1=4 Т; P2=0 Т; P3=0 Т;l=8 м;
q1=2 Тм; q2=0 Тм; q3=0 Тм;h=7 м; I1I2=13
Рисунок 23 – Выбранная схема
Решение
Кинематический анализ
Число лишних связей n (степень статической неопределенности) заданной стержневой системы (рис. 18, а)
n=2Ш+С0-3Д
Здесь Д=1 – диск ABDC, Ш=0 – шарниры; С0=5 – так как имеется по 2 связи в шарнирах A и C, 1 связь в шарнирe B. Получаем
n=2∙0+5-3∙1=2
Рама два раза статически неопределима.
Выбор основной системы.
Будем работать с системой (рис. 24, б). Отбросим опору в точке B и ее действие на раму заменим усилием X1, которая является опорной реакцией в точке B. Шарнир с двумя связями в точке A, заменим шарниром с одной связью и усилием X2.
Для нашей задачи система канонических уравнений имеет вид:
δ11X1+δ12X2+∆1F=0δ21X1+δ22X2+∆2F=0
Здесь
δ11 – вертикальное перемещение точки B, вызванное силой X1=1;
δ11X1 – вертикальное перемещение точки B, от действительного значения силы X1;
δ12 – вертикальное перемещение точки B, вызванное силой X2=1;
δ12X2 – вертикальное перемещение точки B, от действительного значения силы X2;
∆1P – вертикальное перемещение точки B от заданного значения нагрузки;
δ21 – горизонтальное перемещение точки A, вызванное силой X1=1;
δ21x1 горизонтальное перемещение точки A, от действительного значения силы X1;
δ22 – горизонтальное перемещение точки A, вызванное силой X2=1;
δ22x2 – горизонтальное перемещение точки A, от действительного значения силы X2;
∆2F – горизонтальное перемещение точки A от заданного значения нагрузки.
Рисунок 24 – К расчету рамы методом сил
Построение единичных эпюр изгибающих моментов.
Единичные эпюры моментов M1 и M2 строятся в основной системе от сил X1=1 и X2=1 соотвественно (рис. 25, а, б). Суммарная единичная эпюра MS от сил X1=1 и X2=1, действующих одновременно показана на рис
. 26.
Определение коэффициентов системы канонических уравнений производим по правилу Верещагина используя формулу Симпсона.
Рисунок 25 – Единичные эпюры моментов M1 и M2
δ11=M1×M1=k=1Klk6EIkM1нM1н+4M1сM1с+M1кM1к=2∙86EI1∙0∙0+4∙2∙2+4∙4≈85,33EI1
δ12=δ21=M1×M2=k=1Klk6EIkM1нM2н+4M1сM2с+M1кM2к=2∙86EI1∙0∙7+4∙2∙7+4∙7=224EI1
Рисунок 26 – Суммарная единичная эпюра MS
δ22=M2×M2=k=1Klk6EIkM2нM2н+4M2сM2с+M2кM2к=2∙76EI2∙0∙0+4∙3,5∙3,5+7∙7+2∙86EI1∙7∙7+4∙7∙7+7∙7≈228,67EI2+784EI1
Коэффициенты относительной жесткости
I1I2=13; I2=3I1
Получаем окончательно
δ11=85,33EI1; δ12=δ21=224EI1
δ22=228,67EI2+784EI1=228,673EI1+784EI1=76,22EI1+784EI1=860,22EI1
Проверка коэффициентов канонических уравнений
MS×MS=k=1Klk6EIkMSнMSн+4MSсMSс+MSкMSк=2∙76EI2∙0∙0+4∙3,5∙3,5+7∙7+2∙86EI1∙7∙7+4∙9∙9+11∙11≈228,67EI2+1317,33EI1=228,673EI1+1317,33EI1=76,22EI1+1317,33EI1=1393,55EI1
i=12j=12δij=85,33EI1+2∙224EI1+860,22EI1≈1393,55EI1
Так как
MS×MS=i=12j=12δij
то коэффициенты рассчитаны верно
Построение грузовой эпюры изгибающих моментов. Грузовая эпюра MF строится в основной системе от заданной нагрузки (рис. 27, а).
MA=2RCl-Ph2-ql22=0
MC=-2RAl-Ph2+3ql22=0
X=P-HC=0
HC=P=4 Т
RA=2ql22-Ph22l=2∙2∙822-4∙722∙8=11,125 Т
RC=ql22+Ph22l=2∙822+4∙722∙8=4,875 Т
Для проверки
Y=RA+RC-ql=11,125+4,875-2∙8=0
Рисунок 27 – Грузовая эпюра MF
Участок AD: 0≤x≤h2.
MFx=0; MF0=MFh2=0
h2≤x≤h.
MFx=Px-h2
MFh2=0; MFh=Ph2=4∙72=14 Т∙м
Участок DE: 0≤x≤l.
MFx=MD-RAx+qx22
MF0=MD=14 Т∙м
MFl=MD-RAl+ql22=14-11,125∙8+2∙822=-11 Т∙м
Участок CF: 0≤x≤h.
MFx=HCx
MF0=0; MFh=HCh=4∙7=28 Т∙м
Участок EF: 0≤x≤l.
MFx=ME-RCx
MF0=ME=28 Т∙м
MFl=ME-RCl=28-4,875∙8=-11 Т∙м
Грузовая эпюра MF изображена на рисунке 27, б.
Определение свободных членов системы канонических уравнений.
∆1F=M1×MF=k=1Klk6EIkM1нMFн+4M1сMFс+M1кMFк=86EI1∙0∙14-4∙2∙14,5-4∙11+86EI1∙-4∙11+4∙2∙8,5+0∙28≈-181,33EI1
∆2F=M2×MF=k=1Klk6EIkM2нMFн+4M2сMFс+M2кMFк=3,56EI2∙3,5∙0+4∙5,25∙7+7∙14+86EI1∙7∙14-4∙7∙14,5-7∙11+86EI1∙-7∙11+4∙7∙8,5+7∙28+76EI2∙0∙0+4∙3,5∙14+7∙28≈600,25EI2-37,33EI1=600,253EI1-37,33EI1=200,08EI1-37,33EI1=162,75EI1
Проверка свободных членов канонических уравнений
MS×MF=k=1Klk6EIkMSнMFн+4MSсMFс+MSкMFк=3,56EI2∙3,5∙0+4∙5,25∙7+7∙14+86EI1∙7∙14-4∙9∙14,5-11∙11+86EI1∙-11∙11+4∙9∙8,5+7∙28+76EI2∙0∙0+4∙3,5∙14+7∙28≈600,25EI2-218,67EI1=600,253EI1-218,67EI1=200,08EI1-218,67EI1=-18,58EI1
i=12∆iF=-181,33EI1+162,75EI1=-18,58EI1
Так как
MS×MF=i=12∆iF
то свободные члены рассчитаны верно
Система канонических уравнений приобретает вид
85,33X1+224X2-181,33=0224X1+860,22X2+162,75=0
или
85,33X1+224X2=181,33224X1+860,22X2=-162,75
Решаем полученную систему уравнений
Решаем систему методом Крамера
Представим систему в виде
AI=B
Где
A=85,33224224860,22, I=X1X2, B=181,33-162,75
Определители
∆=85,33224224860,22=85,33∙860,22-224∙224≈23230
∆1=181,33224-162,75860,22=181,33∙860,22--162,75∙224≈192443
∆2=85,33181,33224-162,75=85,33∙-162,75-224∙181,33≈-54507
Откуда
X1=∆1∆=19244323230≈8,284 Т
X2=∆2∆=-5450723230≈-2,346 Т
Строим исправленные эпюры M1X1, M2X2 (рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
