Расчет переходных процессов в разветвленной линейной цепи первого порядка

1. Рассчитаем все токи i1;i2;i3 в ветвях и напряжение на индуктивности uL для моментов времени t=0-;t=0+;t=∞.
1.1 Расчет цепи до коммутации для момента времени t=0-.
Он соответствует стационарному (установившемуся) состоянию цепи до коммутации (рис. 2).
Рисунок 2 – Схема цепи до коммутации
Ключ K замкнут.
Резистор R2 зашунтирован ключом K и ток через не потечет.
Сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю – заменяем замыкающей перемычкой.
Резистор R3 зашунтирован замыкающей перемычкой и ток через не потечет.
i30-=0
До коммутации ток в катушке индуктивности по закону Ома равен:
i20-=i10-=ER1=51000=0,005 А=5 мА
i10-=0,005 А=5 мА
i20-=0,005 А=5 мА
Напряжение на индуктивности до коммутации:
uL0-=0
Записываем независимые начальные условия:
i20-=0,005 А=5 мА
1.2 Расчет цепи после коммутации для момента времени t=∞.
Означает новое стационарное состояние цепи после коммутации (размыкания ключа) и окончания переходного процесса (рис. 3).
Рисунок 3 – Схема цепи после коммутации и переходного процесса
Ключ K разомкнут.
Сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю – заменяем замыкающей перемычкой.
Резистор R3 зашунтирован замыкающей перемычкой и ток через не потечет.
i3∞=0
После коммутации и окончания переходного процесса ток в катушке индуктивности по закону Ома равен:
i2∞=i1∞=ER1+R2=51000+1000=0,0025 А=2,5 мА
i1∞=0,0025 А=2,5 мА
i2∞=0,0025 А=2,5 мА
Напряжение на индуктивности:
uL∞=0
1.3 Расчет цепи после коммутации для момента времени t=0+.
Это первое мгновение после размыкания ключа (начало переходного процесса) (рис. 4).
Рисунок 4 – Схема цепи после коммутации для переходного процесса
В соответствие с первым законом коммутации: в любой ветви с катушкой индуктивности ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле накопительных элементов электрической цепи, и дальше начинают плавно изменяться с этих значений (ток через катушку индуктивности не может измениться скачком).
i20+=i20-=0,005 А=5 мА
Остальные величины находим путем составления и решения системы уравнений по законам Кирхгофа, описывающих электрическое состояние цепи (рис. 4) в момент времени t=0+.
Для узла a:
i10+-i20+-i30+=0
i10+-0,005-i30+=0
Для контура K1:
i10+*R1+R2+uL0+=E
i10+*1000+1000+uL0+=5
i10+*2000+uL0+=5
Для контура K2:
i30+*1000-uL0+=0
Имеем систему уравнений
i10+-0,005-i30+=0 1i10+*2000+uL0+=5 2 i30+*1000-uL0+=0 3
Из уравнения 1:
i30+=i10+-0,005
Из уравнения 3:
uL0+=i30+*1000=i10+-0,005*1000=i10+*1000-5
uL0+=i10+*1000-5
Подставив значения в уравнение 2, получим значения токов в ветвях и напряжение на индуктивности:
i10+*2000+i10+*1000-5=5
i10+*3000=10
i10+=0,003333 А=3,333 мА
i30+=i10+-0,005=0,003333-0,005=-0,001667
i30+=-0,001667 А=-1,667 мА
uL0+=i10+*1000-5=0,003333*1000-5=-1,667
uL0+=-1,667 В
i10+=0,003333 А=3,333 мАi20+=0,005 А=5 мАi30+=-0,001667 А=-1,667 мАuL0+=-1,667 В
2 . Рассчитаем классическим методом переходный процесс в виде i1t;i2t;i3t;uLt.
Переходный процесс в цепях первого порядка (с одним реактивным элементом) описывается уравнением вида:
ft=fпр+fсвt=fпр+A*ep*t
где:
fпр=f∞ – принужденная составляющая искомой величины, равная ее значению при t=∞;
fсвt – свободная составляющая;
A – постоянная интегрирования;
p – корень характеристического уравнения, определяющий длительность переходного процесса.
2.1 Составление характеристического уравнения и определение его корней.
Корни характеристического уравнения зависят только от параметров пассивных элементов цепи и не зависят от действующих в ней источников электрической энергии.
Характеристическое уравнение можно получить из схемы электрической цепи после коммутации, в которой все источники энергии заменены на эквивалентные сопротивления (источники ЭДС – перемычкой, а источники тока – разрывом цепи).
Составление характеристического уравнения с помощью входного сопротивления заключается в следующем:
произвести разрыв электрической цепи в любой произвольной точке и определить комплексное сопротивление относительно точки разрыва (рис. 5);
затем заменить в нем все произведения j*ω на p (входное сопротивление цепи в операторной форме).
Рисунок 5 – Схема цепи для определения входного сопротивления
ZL=j*ω*L=p*L
Zp=R1+R2+R3*p*LR3+p*L=R1+R2*R3+p*L+R3*p*LR3+p*L
Приравняем входное сопротивление к нулю:
Zp=0
R1+R2*R3+pL+R3*p*LR3+p*L=0
R1+R2*R3+p*L+R3*p*L=0
1000+1000*1000+p*0,01+3*p*L=0
1000+1000*1000+p*0,01+1000*p*0,01=0
2000*1000+p*0,01+p*10=0
2000000+p*20+p*10=0
p*30=-2000000
p=-66666,667 1с
Находим постоянную времени цепи:
τ=1p=166666,667=1,5*10-5
τ=1,5*10-5 с=15*10-6 с=15 мкс
2.2 Расчет тока в индуктивности.
i2t=i2 пр+A1*ep*t
i2t=i2∞+A1*e-66666,667*t=0,0025+A1*e-66666,667*t
i2t=0,0025+A1*e-66666,667*t
Постоянную интегрирования находим, используя независимые начальные условия.
В момент времени t=0+:
i20+=i20-=0,005 А=5 мА
Тогда:
0,005=0,0025+A1*e-66666,667*0
0,005=0,0025+A1
A1=0,005-0,0025=0,0025
Получим уравнение переходного процесса для тока в индуктивности:
i2t=0,0025+0,0025*e-66666,667*t А
2.3 Расчет напряжения на индуктивности.
uLt=L*diLtdt
Для этого продифференцируем по времени уравнение для тока в индуктивности:
diLtdt=0,0025+0,0025*e-66666,667*t'
diLtdt=0,0025*-66666,667*e-66666,667*t=-166,667*e-66666,667*t
diLtdt=-166,667*e-66666,667*t
Тогда:
uLt=L*diLtdt
uLt=0,01*-166,667*e-66666,667*t=-1,667*e-66666,667*t
uLt=-1,667*e-66666,667*t В
2.2 Расчет тока i3t.
i3t=i3 пр+A2*ep*t
i3t=i3∞+A2*e-66666,667*t=0+A1*e-66666,667*t
i3t=A2*e-66666,667*t
В момент времени t=0+:
i30+=-0,001667 А=-1,667 мА
Тогда:
-0,001667=A2*e-66666,667*0
-0,001667=A2*1
A2=-0,001667
Получим уравнение переходного процесса для тока i3t:
i3t=-0,001667*e-66666,667*t А
2.2 Расчет тока i1t.
i1t=i2t+i3t
i1t=0,0025+0,0025*e-66666,667*t-0,001667*e-66666,667*t
Получим уравнение переходного процесса для тока i1t:
i1t=0,0025+0,000833*e-66666,667*t А
Или:
i1t=i1 пр+A3*ep*t
i1t=i1∞+A3*e-66666,667*t=0,0025+A3*e-66666,667*t
i1t=0,0025+A3*e-66666,667*t
В момент времени t=0+:
i10+=0,003333 А=3,333 мА
Тогда:
0,003333=0,0025+A3*e-66666,667*t
A3=0,003333-0,0025=0,000833
A3=0,000833
i1t=0,0025+A3*e-66666,667*t=0,0025+0,000833*e-66666,667*t
i1t=0,0025+0,000833*e-66666,667*t А
3