Расчёт переходных процессов в линейных цепях

1. Классический метод.
1.1. Расчёт токов и напряжений до коммутации (t=0-). Докоммутационная схема приведена на рис. 3.2.
Рис. 3.2.
R24=R2+R4=21+20=41 Ом
R234=R3∙R24R3+R24=30∙4130+41=17.32 Ом
R234=R1+R234=95+17.32=112.32 Ом
i10-=ER=-256112.32=-2.28 A
Uab0-=i10-∙R243=-2.28∙17.32=-39.49 В
i20-=Uab0-R24=39.4941=0.96 A
i20-=Uab0-R3=39.4930=1.32 A
UR40-=i20-∙R4=0.96∙20=19.20 В=UC0-=UC0+
i10-=iL0-=-2.28 A=iL0+
1.2. Расчёт токов и напряжений в момент коммутации (t=0+).
Коммутационная схема приведена на рис. 3.3.
Рис. 3.3.
Примем ϕb = 0 В, тогда
φa∙1R1+1R2+1R3=iL0++UC0+R2-ER1
или
φa∙195+121+130=-2,28+19,2021-25695
0,094φa=-4.06 => φa=-44.39 В
Тогда i20+=iC0+=φb-φa+UC(0+)R2=0--44.39+19.2021=3.03 A
1.3 . Расчёт токов и напряжений в установившемся режиме. Схема установившегося режима приведена на рис. 3.4:
i1пр=-ER1R3=-25695+30=-2.05 A
i2пр=0 A
i3пр=-i1пр=--2,05=2,05 A
Рис. 3.4.
1.4. Составление характеристического уравнения:
Рис. 3.5.
2. Операторный метод
Операторная схема замещения:
I1p+I2p+I3p=0I1p∙R1+pL-I2p∙R2+1pC=UC0+p+LiL0+-EPI2p∙R2+1pC-I3p∙R3=-UC0+p
I1p+I2p+I3p=0I1p∙95+91∙10-6-I2p∙21+139∙10-6p=19.2p+91∙10-3∙(-2.28)-256PI2p∙21+1p∙39p10-6-I3p∙30=-19.2p
Решая, получаем для искомого тока i2(t)его изображение:
I2p=46,8∙(3731p+44∙105)180999p2+304525000p+125∙109
По теореме разложения:
i2(t)=k=1nF1pkF2'pkepkt, где
F1p=46.8∙3731p+44*105;
F2p=180999p2+304525000p+125∙109;
F2'p=361998p+304525000
Тогда
i2t=F1p1F2'p1ep1t+F1p2F2'p2ep2t
F1p1=46.8∙3731*-710.61+44∙105=8.18∙107
F1p2=46.8∙3731*-971.86+44∙105=3.62∙107
F2'p1=361998∙-710.61+304525000=4.73∙107
F2'p2=361998∙-971.86+304525000=-4.73∙107
i2t=8.18∙1074.73∙107e-710.61t+3.62∙107-4.73∙107e-971.86t=1.73∙e-710.61t-0.77e-971.86t
Z1=R1+pL
Z2=R3∙(R2+1pC)R3+R2+1pC=R3∙(1+pR2C)1+pC∙(R2+R3)
Zp=R1+pL+R3∙(1+pR2C)1+pC∙(R2+R3)=95+91∙10-3p+301+21∙39∙10-6p1+39∙10-6∙21+30p=
=180999+304525000p+125*1091989000p+109
Приравниваем числитель нулю:
180999p2+304525000p+125∙109=0
Решим полученное квадратное уравнение:
p1=-710.61 с-1p2=-971.86 c-1
Таким образом
UCt=UCпр+A1ep1t+A2ep2t=0+A1ep1t+A2ep2t=A1e-710.61t+A2e-971.86t
i2t=C∙dUcdt=C∙[p1A1ep1t+p2A2ep2t]
UC0=A1+A2=19.20 В
i20=С∙P1A1+P2A2=3.03 A
Или
A1+A2=19.20 39∙106∙-710.61A1+-971.86A2=3.03=>A1=386.81A2=-349.61
Тогда искомый ток i2(t) равен:
i2t=39∙10-6∙-710.61∙369.81∙e-710.61t-971.86∙-349.61∙e-971.86t=
=1.73∙e-710.61t-0.77∙e-971.86t A