Расчет переходных процессов в цепях постоянного тока с одним накопителем энергии

Классический метод
Согласно схемы, стрелка показывает состояние ключа в момент коммутации. Т.е. ключ размыкается.
Расчет режима до коммутации (ключ замкнут)
Рис.2. Схема режима до коммутации
Непосредственно до коммутации токи составят:
i10_=i20_=Ur1+r4=11020+20=2,75 A
i30_=0
Напряжение на конденсаторе до коммутации
UC0_=U·r4r1+r4=110·2020+20=55 B
или UC0_=i20_·r4=2,75·20=55 B
Согласно второму закону коммутации, напряжение на емкости не может измениться скачком и в первый момент времени после коммутации остаётся таким же, как и до коммутации, т.е. начальное условие для напряжения на конденсаторе запишется как
UC0=UC0_=55 B
Расчет принужденного тока после коммутации (ключ разомкнут)
Рис.3. Схема режима после коммутации
В этом случае принужденная составляющая
iпр=i1=Ur1+r2+r4=11020+10+20=2,2 A
По законам Кирхгофа составляем уравнения для момента коммутации t=0 по рис.3
i10=i20+i30-для узла aU=i10∙r1+i20∙r2+r4-для контура 1U=i10∙r1+i30∙r3+UC0-для контура 2
Из второго уравнения системы выразим ток i20
i20=U-i10∙r1r2+r4
Из третьего уравнения системы выразим ток i30
i30=U-i10∙r1-UC0r3
Полученные выражения для токов i20 и i30 подставляем в первое уравнение системы. Получим
i10=U-i10∙r1r2+r4+U-i10∙r1-UC0r3
Подставляем исходные данные и упрощаем
i10=110-i10∙2010+20+110-i10∙20-5530=110-i10∙20+110-i10∙20-5530=165-40i1030=5,5-1,333i10
Таким образом получили, что
i10=5,5-1,333i10
Откуда
5,5=i10+1,333i10
5,5=2,333i10
i10=5,52,333=2,357 А
Для времени t=0 получим
i10=iпр+iсв=iпр+A·ept=iпр+A·e0t=2,2+A=2,357 А
т.е.
i10=2,2+A=2,357 А
откуда постоянная интегрирования A равна
A=2,357-2,2=0,157
Определяем корни характеристического уравнения
Для этого составим характеристическое входное сопротивление цепи и приравняем его к нулю:
Zp=r1+r2+r4r3+1pCr2+r4+r3+1pC=r1+r2+r4r3+1pCr2+r4+r3+1pC
Избавимся от дробных выражений в числителе и знаменателе, домножив их на множитель pC
Zp=r1+r2+r4r3+1pCpCr2+r4+r3+1pCpC=r1+r2+r4r3pC+1r2+r4+r3pC+1
Приводим к общему знаменателю, домножив r1 на r2+r4+r3pC+1
Zp=r1+r2+r4r3pC+1r2+r4+r3pC+1=r1∙r2+r4+r3pC+1r2+r4+r3pC+1+r2+r4r3pC+1r2+r4+r3pC+1=r1∙r2+r4+r3pC+1+r2+r4r3pC+1r2+r4+r3pC+1
Для приравнивания характеристического входного сопротивления цепи к нулю, достаточно, чтобы числитель найденного выражения для Zp был равен нулю . Поэтому, приравняв числитель к нулю, получим выражение
r1∙r2+r4+r3pC+1+r2+r4r3pC+1=0
Подставляем исходные данные и находим корень p характеристического уравнения
20∙10+20+30p·0,0001+1+10+2030p·0,0001+1=0
Упрощаем
20∙60p·0,0001+1+300,003p+1=0
20∙0,006p+1+300,003p+1=0
20∙0,006p+1+300,003p+1=0
0,12p+20+0,09p+30=0
0,21p+50=0
0,21p=-50
p=-500,21=-238,095≈-238,1
Тогда для тока i1t получим
i1t=iпр+iсв=iпр+A·ept=iпр+A·ept=2,2+0,157e-238,1t А
Ток i2t можем найти по закону Ома по рис.3 с учетом падения напряжения на сопротивлении r1:
i2t=U-i1tr1r2+r4=110-2,2+0,157e-238,1t∙2010+20=110-44+3,14e-238,1t30=110-44-3,14e-238,1t30=66-3,14e-238,1t30=2,2-0,105e-238,1t A
Ток i3t можем найти по первому закону Кирхгофа по рис.3 для узла а:
i3t=i1t-i2t=2,2+0,157e-238,1t-2,2-0,105e-238,1t=2,2+0,157e-238,1t-2,2+0,105e-238,1t=0,262e-238,1t
Проверим правильность найденных токов, составив уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а. Входящие в узел токи запишем со знаком «+», выходящие из узла со знаком «-»
i1t-i2t-i3t=0
2,2+0,157e-238,1t-2,2-0,105e-238,1t-0,262e-238,1t=2,2+0,157e-238,1t-2,2+0,105e-238,1t-0,262e-238,1t=0-верно
Находим законы изменения напряжений ветвей
первой ветви
u1t=i1t∙r1=2,2+0,157e-238,1t∙20=44+3,14e-238,1t B
второй ветви
u2t=i2t∙r2+r4=2,2-0,105e-238,1t∙10+20=66-3,15e-238,1t B
третьей ветви
напряжение этой ветви можем найти, воспользовавшись вторым законом Кирхгофа для второго контура (рис.3):
ut=u1t+u3t, откуда
u3t=ut-u1t=110-44+3,14e-238,1t=66-3,14e-238,1t B
Второй способ нахождения напряжения u3t третьей ветви.
Также напряжение третьей ветви можно найти, вычислив отдельно напряжение на сопротивлении r3 этой ветви и конденсаторе, и найдя их сумму
ur3t=i3t·r3=0,262e-238,1t∙30=7,86e-238,1t B
Напряжение на конденсаторе до коммутации
UC0_=U·r4r1+r4=110·2020+20=55 B
или UC0_=i20_·r4=2,75·20=55 B
Напряжение на конденсаторе после коммутации
UC0+=Ur1+r2+r4∙r2+r4=11020+10+20∙10+20=66 B
или
UC0+=i20_·r2+r4=2,2·10+20=66 B
Т.к