Расчет переходных процессов в цепях постоянного тока с одним накопителем энергии – емкостью

Классический метод расчета переходного процесса
1. Расчет токов и напряжений в установившемся режиме до коммутации (ключ К разомкнут) в момент времени t=0-.
В установившемся режиме до коммутации в цепи постоянного тока емкость представляет собой разрыв (сопротивление емкости постоянному току бесконечно).
Составим схему для расчета цепи до коммутации (рис. 7.2):
Рисунок 7.2 – Схема для расчета цепи до коммутации в установившемся режиме
Токи в ветвях:
i10-=i20-=Ur1+r3+r2=9025+15+10=1,8
i10-=1,8 А
i20-=1,8 А
i30-=0
Напряжение на емкости до коммутации:
uC0-=i20-*r2=1,8*10=18
uC0-=18 В
2. Принужденные составляющие токов и напряжений определяются из расчета установившегося режима после коммутации (ключ К замкнут) в момент времени t=∞.
Рисунок 7.3 – Схема для расчета цепи после коммутации в установившемся режиме
В установившемся режиме после коммутации в цепи постоянного тока емкость представляет собой разрыв (сопротивление емкости постоянному току бесконечно).
Резистор r1 зашунтирован ключом К, и ток через него отсутствует.
Токи в ветвях:
i1пр=i2пр=Ur3+r2=9015+10=3,6
i1пр=3,6 А
i2пр=3,6 А
iCпр=0
Напряжение на емкости в принужденном режиме после коммутации:
uCпр=i2пр*r2=3,6*10=36
uCпр=36 В
3. Токи и напряжения определяются как суммы свободной и принужденной составляющих:
i1t=i1пр+i1св
i2t=i2пр+i2св
iCt=iCпр+iCсв
uCt=uCпр+uCсв
4. Характеристическое уравнение для послекоммуникационного режима:
Характеристическое уравнение можно получить из схемы электрической цепи после коммутации, в которой источник энергии заменены на эквивалентные сопротивления (источники ЭДС – перемычкой)
Рисунок 7.4 – Схема цепи для расчета корня характеристического уравнения
Zp=r3+r2*r4+1p*Cr2+r4+1p*C=r3+r2*r4+r2p*Cr2+r4+1p*C=r3+r2*r4*p*C+r2p*Cr2+r4*p*C+1p*C=
=r3+r2*r4*p*C+r2r2+r4*p*C+1=r3*r2+r4*p*C+r3+r2*r4*p*C+r2r2+r4*p*C+1=
=p*C*r3*r2+r4+r2*r4+r3+r2r2+r4*p*C+1
Zp=p*C*r3*r2+r4+r2*r4+r3+r2r2+r4*p*C+1
Приравнивая к нулю, находим корень характеристического уравнения:
Zp=p*C*r3*r2+r4+r2*r4+r3+r2r2+r4*p*C+1=0
p*C*r3*r2+r4+r2*r4+r3+r2=0
p*C*r3*r2+r4+r2*r4=-r3+r2
p=-r3+r2C*r3*r2+r4+r2*r4
p=-15+100,0005*15*10+20+10*20=-250,0005*650=-76,923
p=-76,923 с-1
5. Составляем в общем виде уравнение для определения реакции цепи с учетом полученного действительного значения корня характеристического уравнения:
i1св=D1*ep*t
i2св=D2*ep*t
iCсв=D3*ep*t
uCсв=D4*ep*t
D1;D2;D3;D4 – неизвестные постоянные коэффициенты.
Тогда искомые токи и напряжение будут иметь вид:
i1t=i1пр+i1св=3,6+D1*e-76,923*t
i1t=3,6+D1*e-76,923*t
i2t=i2пр+i2св=3,6+D2*e-76,923*t
i2t=3,6+D2*e-76,923*t
iCt=iCпр+iCсв=D3*e-76,923*t
iCt=D3*e-76,923*t
uCt=uCпр+uCсв=36+D4*e-76,923*t
uCt=36+D4*e-76,923*t
6 . Для определения постоянных коэффициентов необходимо рассмотреть токи и напряжения после коммутации, в момент переходного процесса t=0+.
Рисунок 7.5 – Схема для расчета цепи после коммутации в переходном процессе
i10+=3,6+D1*e-76,923*0=3,6+D1
i10+=3,6+D1
i20+=3,6+D2*e-76,923*0=3,6+D2
i20+=3,6+D2
iC0+=D3*e-76,923*0=D3
iC0+=D3
uC0+=36+D4*e-76,923*0=36+D4
uC0+=36+D4
По II закону коммутации напряжение на емкости не может измениться скачком, т.е. напряжение и заряд на емкости непосредственно после коммутации равны напряжению и заряду на этой же емкости непосредственно перед коммутацией, а затем плавно изменится.
uC0+=uC0-=18 В
Тогда:
uC0+=36+D4
18=36+D4
D4=-18
Получим уравнение переходного процесса напряжения на емкости:
uCt=36+D4*e-76,923*t=36-18*e-76,923*t
uCt=36-18*e-76,923*t В
Из соотношения, продифференцировав uCt
iCt=C*duCdt
duCdt=36-18*e-76,923*t'=-18*-76,923*e-76,923*t=1384,614*e-76,923*t
iCt=0,0005*1384,614*e-76,923*t=0,692*e-76,923*t
Получим уравнение переходного процесса тока через конденсатор:
iCt=0,692*e-76,923*t А
По II закону Кирхгофа для послекоммутационной схемы для контура IIК:
i2t*r2-uCt-iCt*r4=0
i2t=uCt+iCt*r4r2
i2t=36-18*e-76,923*t+0,692*e-76,923*t*2010=3,6-0,416*e-76,923*t
Получим уравнение переходного процесса тока через резистор r2:
i2t=3,6-0,416*e-76,923*t А
По I закону Кирхгофа для послекоммутационной схемы для узла a:
i1t-i2t-iCt=0
i1t=i2t+iCt=0
i1t=3,6-0,416*e-76,923*t+0,692*e-76,923*t=3,6+0,276*e-76,923*t
Получим уравнение переходного процесса тока через резистор r3:
i1t=3,6+0,276*e-76,923*t А
Рисунок 7.6 – Графики изменения токов и напряжений во время переходного процесса
Операторный метод расчета переходного процесса
1 Составляем операторную схему замещения цепи, сложившейся после коммутации, с учетом начальных условий из расчета цепи классическим методом.
UC0-=18 В
Электрические сопротивления заменяются эквивалентными операторными сопротивлениями r2;r3;r4, источник ЭДС заменяется соответствующим операторным ЭДС Up