Расчет переходных процессов при подключении цепи к источнику постоянного напряжения

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи.
Коммутация – это замыкание или размыкание коммутирующих приборов. В результате таких внезапных изменений параметров в электрической цепи происходит переход из энергетического состояния, соответствующего докоммутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствующему послекоммутационному режиму.
В резистивном элементе r электрическая энергия превращается в тепло и рассеивается в окружающую среду.
В индуктивном элементе накапливается энергия магнитного поля:
WM=L*iL22
В емкостном элементе накапливается энергия электрического поля:
WЭ=C*uC22
При коммутации происходит изменение суммарной энергии электромагнитного поля цепи. Процесс изменения этой энергии не может происходить мгновенно, так как в этом случае мощность источника энергии должна быть бесконечно большой, а таких источников не существует.
При анализе переходных процессов пользуются двумя законами (правилами) коммутации:
Первый закон коммутации:
в любой ветви с катушкой индуктивности ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле накопительных элементов электрической цепи, и дальше начинают плавно изменяться с этих значений (ток через катушку индуктивности не может измениться скачком).
iL0=iL0_
Второй закон коммутации:
в любой ветви напряжение и заряд на конденсаторе сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются, начиная с этих значений.
uC0=uC0_
2.3.1 Расчет переходных процессов классическим методом
Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.
В общем случае при использовании классического метода по законам Ома и Кирхгофа составляются уравнения электромагнитного состояния цепи для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями:
резистор (идеальное активное сопротивление):
ur=r*ir
катушка индуктивности (идеальная индуктивность):
uL=L*diLdr
конденсатор (идеальная емкость):
uC=1C*iCdt
1. Нахождение независимых начальных условий из расчета установившегося режима до коммутации (рис 2.3.1).
Ключ разомкнут – источник ЭДС отключен от цепи; ток через индуктивность не потечет; конденсатор разряжен.
Если до коммутации ток в катушке индуктивности и напряжение на конденсаторе равны нулю, то имеют место нулевые независимые начальные условия:
i10=i10_=0
uC0=uC0_=0
2. Расчет принужденного режима после коммутации.
В исходной схеме замыкаем ключ.
Принужденный (установившийся) режим после коммутации при постоянном источнике будет соответствовать схеме (рис . 2.3.1.1).
Сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю – заменяем замыкающей перемычкой.
Сопротивление емкости постоянному току равно бесконечности – соответствует разрыву цепи.
Рисунок 2.3.1.1 – Схема цепи после коммутации в установившемся режиме
Тогда для цепи в принужденном режиме имеем:
i1 пр=i3 пр=Er1+r2+r3
i1 пр=i3 пр=15055+20+30=1,4286
i1 пр=i3 пр=1,4286 А
i2 пр=0
uC пр=i3 пр*r1+r2
uC пр=1,4286 *55+20=107,145
uC пр=107,145 В
3. Для расчета переходного процесса классическим методом необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, описывающих состояние цепи после коммутации в момент времени t=0 (рис. 2.3.1.2).
Рисунок 2.3.1.2 – Схема цепи непосредственно после коммутации
i1-i2-i3=0 11C*i2dt+r3*i1+L*di1dt=E 2i3*r1+r2-1C*i2dt=0 3 i2=C*duCdt 4
4. Определение корней характеристического уравнения
Характер и длительность переходного процесса полностью определяются корнями характеристического уравнения цепи.
Корни характеристического уравнения зависят только от параметров пассивных элементов цепи и не зависят от действующих в ней источников электрической энергии.
Характеристическое уравнение можно получить из схемы электрической цепи после коммутации, в которой все источники энергии заменены на эквивалентные сопротивления (источники ЭДС – перемычкой, а источники тока – разрывом цепи).
Составление характеристического уравнения с помощью входного сопротивления заключается в следующем:
произвести разрыв электрической цепи в любой произвольной точке и определить комплексное сопротивление относительно точки разрыва;
затем заменить в нем все произведения jω на p (входное сопротивление цепи в операторной форме);
приравнять результат нулю (рис 2.3.1.3).
Рисунок 2.3.1.3 – Схема для определения входного сопротивления цепи
r1,2=r1+r2=55+20=75
r1,2=75 Ом
C=100 мкФ=100*10-6=10-4 Ф
Комплексное входное сопротивления цепи:
Zвх=r3+j*ω*L+r1,2*1j*ω*Cr1,2+1j*ω*C
j*ω=p
Zвх=r3+p*L+r1,2*1p*Cr1,2+1p*C=r3+p*L+r1,2p*Cr1,2*p*C+1p*C=
=r3+p*L+r1,2r1,2*p*C+1=r3+p*L*r1,2*p*C+1+r1,2r1,2*p*C+1=
=r3*r1,2*p*C+p2*L*C*r1,2+r3+p*L+r1,2p*C+1=
=p2*r1,2*L*C+p*L+r3*r1,2*C+r3+r1,2r1,2*p*C+1
Zвх=p2*r1,2*L*C+p*L+r3*r1,2*C+r3+r1,2r1,2*p*C+1=0
r1,2*p*C+1≠0
p2*r1,2*L*C+p*L+r3*r1,2*C+r3+r1,2=0
p2*75*0,1*10-4+p*0,1+30*75*10-4+30+75=0
p2*0,00075+p*0,325+105=0
p2+p*433, 3333+140000=0
p1,2=-216,6667±216,66672-140000
p1,2=-216,6667±-93055,5411=-216,6667±j*305,05001
p1=-216,6667+j*305,05001 с-1
p2=-216,6667-j*305,05001 с-1
Так как корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, то свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет вид:
p1,2=-δ±j*ω1
uC св=A*e-δ*t*sinω1*t+γ В
а переходный процесс носит колебательный характер.
Здесь:
δ=216,6667 – коэффициент затухания;
ω1=305,05001 – угловая частота.
uC св=A*e-216,6667 *t*sin305,05001*t+γ В
Полное напряжение на конденсаторе получается, как сумма принужденного и свободного режима:
uCt=uC пр+uC св В
uCt=107,145+A*e-216,6667 *t*sin305,05001*t+γ В
5