Расчет на растяжение-сжатие чугунного стержня
Для заданного чугунного стержня:
1. Определить необходимые по условию прочности площади поперечных сечений стержня;
2. Определить перемещения сечений стержня (считая слева направо) относительно левой заделки;
Исходные данные: l=200 мм; А1=3А; А2=2,5А; Р1=3Р; Р2=4Р; P=50 кН; материал чугун СЧ18-36 [Ϭ]Р=180 МПа; [Ϭ]С=700 Мпа; Е=1,2·105 МПа.
Решение
Определим степень статической неопределимости системы по формуле n=R-y,
где R=2, так как неизвестны две реакции опоры RA и RB;
y=1, потому что из трех уравнений равновесия для плоской системы сил стержня можно составить только одно уравнение равновесия:
PZ=0; RA+P1-P2-RB=0
В результате получим n=R-y=2-1=1, что система один раз статически неопределима.
Раскроем статическую неопределимость системы.
Отбрасывая опору В и заменяя ее реакцией связи RB, получаем основную систему, которая будет статически определима.
Величину реакцией связи RB найдем из условия, что полная деформация стержня равна нулю.
Составляем уравнение совместности деформации: ∆lΣ=∆lRB+∆lР1+∆lР2=0
Применяя принцип независимости действия сил, найдем перемещение сечения В стержня отдельно от внешних сил и неизвестной реакции RВ.
Прикладываем к основной системе реакцию опоры RВ и находим
∆lRB=-RB∙3lE∙2,5A-RB∙lE∙3A
Прикладываем к основной системе внешнюю силу P! и находим
∆lP1=P1∙lE∙3A+P1∙2lE∙2,5A=3P∙lE∙3A+3P∙2lE∙2,5A
Прикладываем к основной системе внешнюю силу P2 и находим
∆lP2=-P2∙lE∙2,5A=-4P∙lE∙2,5A
Уравнение совместности деформации запишется в виде:
∆lΣ=∆lRB+∆lP1+∆lP2=-RB∙3lE∙2,5A-RB∙lE∙3A+3P∙lE∙3A+3P∙2lE∙2,5A-4P∙lE∙2,5A =0
Решая полученное уравнение, находим
RB=1,174∙Р=58,7 кН
Знак плюс показывает, что направление реакции опоры RВ выбрано верно.
Далее задача решается как статически определимая.
Опорную реакцию RA определим из уравнения
PZ=0; RA+P1-P2-RB=0
Откуда RА=2,174∙Р=108,7 кН.
Построим эпюры нормальной силы N, нормального напряжения Ϭ.
Делим стержень на участки и присваиваем номер каждому участку.
Методом сечений определяем продольную силу на каждом участке
.
1 участок: NZ1=-RA=-108,7 кН;
σ1=Nz12,5A=-43,5 кНA
2 участок: NZ2=-RA+4Р=-108,7+200=91,3 кН;
σ2=Nz22,5A=36,5 кНA
3 участок: NZ3=-RA+4Р=-108,7+200=91,3 кН;
σ3=Nz33A=30,4 кНA
4 участок: NZ4=-RB=-58,7 кН;
σ4=Nz42,5A=-23,5 кНA
center76946800По полученным значениям строим эпюру продольных сил и нормальных напряжений.
Рис.1 – Расчетная схема, основная система и эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений
Определим опасное сечение и из условия прочности подберем размеры сечения стержня.
Минимальное напряжение имеет место на первом участке
σmin=-43,5 кНA
Подбор сечения произведем по условию прочности на сжатие:
σmin=43,5 кНA≤σС
Откуда
A≥43,5∙103700∙106=0,62∙10-4 м2=0,62 см2
Максимальное напряжение имеет место на втором участке
σmax=36,5 кНA
Подбор сечения произведем по условию прочности на растяжение:
σmax=36,5 кНA≤σP
Откуда
A≥36,5∙103180∙106=2,0∙10-4 м2=2,0 см2
Из двух полученных значений выбираем наибольшее, окончательно принимая А=2,0 см2.
Определим фактические напряжения на каждом участке:
σ1=Nz12,5A=-43,5∙1032∙10-4=-217,5 МПа
σ2=Nz22,5A=36,5∙1032∙10-4=182,5 МПа
Перенапряжение составляет (182,5-180)/180*100%=1,4%<5%, что допустимо.
σ3=Nz33A=30,4∙1032∙10-4=152,0 МПа
σ4=Nz42,5A=-23,5∙1032∙10-4=-117,5 МПа
Для построения эпюры перемещений возьмем за начало координат левое сечение заделки А
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
