Расчет линейных электрических цепей при несинусоидальном напряжении

1) Рассчитаем схему при нулевой гармонике.
Т.к. конденсатор в цепи постоянного тока не проводит ток то:
I1m0=I2m0=I3m0=0
2) Рассчитаем схему при первой гармонике.
Определим угловую частоту переменного тока:
ω=2πf=2π∙50=314,159 радс
Найдем сопротивления реактивных элементов цепи:
XC11=1ωC1=1314,159∙20,03∙10-6=158,917 Ом
XL21=ωL2=314,159∙592∙10-3=185,982 Ом
XL31=ωL3=314,159∙590∙10-3=185,354 Ом
Определяем полные сопротивления ветвей цепи:
Z11=R1-jXC11=184-j158,917=243,126e-j40,816° Ом
Z21=R2+jXL21=188+j185,982=264,449ej44,691° Ом
Z31=R3+jXL31=174+j185,354=254,228ej46,81° Ом
Рассчитываем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи:
Z231=Z21∙Z31Z21+Z31=264,449ej44,691°∙254,228ej46,81°188+j185,982+174+j185,354=67230,519ej91,501°362+j371,336=67230,519ej91,501°518,589ej45,729°=129,641ej45,771°=90,428+j92,896 Ом
Вычисляем эквивалентное сопротивление цепи:
Z1=Z11+Z231=184-j158,917+90,428+j92,896=274,428-j66,021=282,258e-j13,527° Ом
Определяем ток в неразветвленной части цепи:
I1m1=Em1Z1=190282,258e-j13,527°=0,673ej13,527°=0,654+j0,157 А
Рассчитываем напряжение на параллельном участке цепи:
U23m1=I1m1∙Z231=0,673ej13,527°∙129,641ej45,771°=87,267ej59,298°=44,556+j44,556 В
Вычисляем токи в параллельных ветвях цепи:
I2m1=U23m1Z21=87,267ej59,298°264,449ej44,691°=0,33ej14,607°=0,319+j0,083 А
I3m1=U23m1Z31=87,267ej59,298°254,228ej46,81°=0,343ej12,488°=0,335+j0,074 А
3) Рассчитаем схему при третьей гармонике.
Найдем сопротивления реактивных элементов цепи:
XC13=1ωC1=13∙314,159∙20,03∙10-6=52,972 Ом
XL23=ωL2=3∙314,159∙592∙10-3=557,947 Ом
XL33=ωL3=3∙314,159∙590∙10-3=556,062 Ом
Определяем полные сопротивления ветвей цепи:
Z13=R1-jXC13=184-j52,972=191,473e-j16,061° Ом
Z23=R2+jXL23=188+j557,947=588,769ej71,379° Ом
Z33=R3+jXL33=174+j556,062=582,65ej72,624° Ом
Рассчитываем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи:
Z233=Z23∙Z33Z23+Z33=588,769ej71,379°∙582,65ej72,624°188+j557,947+174+j556,062=343046,044ej144,003°362+j1114,009=343046,044ej144,003°1171,349ej71,998°=292,864ej72,005°=90,477+j278,538 Ом
Вычисляем эквивалентное сопротивление цепи:
Z3=Z13+Z233=184-j52,972+90,477+j278,538=274,477+j225,566=355,271ej39,413° Ом
Определяем ток в неразветвленной части цепи:
I1m3=Em1∙0,7Z3=190∙0,7355,271ej39,413°=0,374e-j39,413°=0,289-j0,238 А
Рассчитываем напряжение на параллельном участке цепи:
U23m3=I1m3∙Z233=0,374e-j39,413°∙292,864ej72,005°=109,637ej32,591°=92,373+j59,055 В
Вычисляем токи в параллельных ветвях цепи:
I2m3=U23m3Z23=109,637ej32,591°588,769ej71,379°=0,186e-j38,787°=0,145-j0,117 А
I3m3=U23m3Z33=109,637ej32,591°582,65ej72,624°=0,188e-j40,033°=0,144-j0,121 А
Действующее значение каждого тока:
I1=I102+I1m12+I1m322=02+0,6732+0,37422=0,545 А
I2=I202+I2m12+I2m322=02+0,332+0,18622=0,268 А
I3=I302+I3m12+I3m322=02+0,3432+0,18822=0,277 А
Записываем мгновенные значения токов в ветвях цепи:
i1t=I10+Im12sinωt+ψi12+Im13sin3ωt+ψi13=0,673sin314,159t+13,527°+0,374sin3∙314,159t-39,413° А
i2t=I20+Im22sinωt+ψi22+Im23sin3ωt+ψi23=0,33sin314,159t+14,607°+0,186sin3∙314,159t-38,787° А
i3t=I30+Im32sinωt+ψi32+Im33sin3ωt+ψi33=0,343sin314,159t+12,488°+0,188sin3∙314,159t-40,033° А