Расчет линейных электрических цепей постоянною тока с несколькими источниками ЭДС
Для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 1, по заданным сопротивлениям резисторов и ЭДС источников:
1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа, и, решив ее, определить токи в ветвях цепи. Проверить решение, составив баланс мощностей для заданной схемы;
2) найти токи в ветвях схемы методом контурных токов и методом узловых потенциалов;
3) заменив треугольник сопротивлений эквивалентной звездой, найти токи в ветвях схемы методом двух узлов. Начертить расчетную схему с указанием на ней токов;
4) определить ток в резисторе R6, методом эквивалентного генератора;
5) определить показание вольтметра;
6) построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.
Дано: E1=26 В; E2=20 В; E3=47 В; R01=1,7 Ом; R02=2,1 Ом; R03=2,4 Ом; R1=2 Ом; R2=13 Ом; R3=10 Ом; R4=4 Ом; R5=15 Ом; R6=1 Ом.
Рис. 1
Решение
1) Задаем стрелками положительные направления токов в ветвях схемы (рис. 2).
Рис. 2
В рассматриваемой схеме четыре узла (у=4) и шесть ветвей (b=6).
По первому закону Кирхгофа следует составить (у-1=3) независимых уравнений:
узел 1:-I1+I5+I6=0
узел 2: I1-I2+I3=0
узел 3: I2-I4-I5=0
По второму закону Кирхгофа следует составить [b-(y-1)=3] независимых уравнения для трех независимых замкнутых контуров I, II, III. Выбрав направление обхода во всех контурах по ходу часовой стрелки, получим:
контур I: R1I1+R2I2+R5I5=E1+E2
контур II: -R2I2-R3+R03I3-R4I4=-E2-E3
контур III: R4I4-R5I5+R6I6=0
Объединяем уравнения, записанные по первому и второму законам Кирхгофа в систему и подставляем в нее числовые значения:
-I1+I5+I6=0I1-I2+I3=0I2-I4-I5=02I1+13I2+15I5=26+20-13I2-10+2,4I3-4I4=-20-474I4-15I5+1I6=0
Составим расширенную матрицу системы и решим при помощи ПО Mathcad:
В результате получаем:
I1=0,869 А
I2=2,726 А
I3=1,856 А
I4=2,137 А
I5=0,589 А
I6=0,281 А
Записываем уравнение баланса мощностей для исходной схемы, и подставляем известные числовые значения:
Pист=Pпр
E1I1+E2I2+E3I3=I12R1+I22R2+I32R3+R03+I42R4+I52R5+I62R6
26∙0,869+20∙2,726+47∙1,856=0,8692∙2+2,7262∙13+1,8562∙10+0,8+2,1372∙4+0,5892∙15+0,2812∙1
164,362Вт=164,362 Вт
2) Задаем стрелками положительные направления контурных токов (I11,I22 ,I33) в независимых контурах схемы (рис
. 3).
Рис. 3
Составляем систему уравнений по МКТ в общем виде:
R11I11-R12I22-R13I33=E11-R21I11+R22I22-R23I33=E22-R31I11-R32I22+R33I33=E33
Определяем суммарные сопротивления контуров, взаимные сопротивления контуров и алгебраические суммы ЭДС контуров:
R11=R1+R2+R5=2+13+15=30 Ом
R22=R2+R3+R03+R4=13+10+2,4+4=29,4 Ом
R33=R4+R5+R6=4+15+1=20 Ом
R12=R21=R2=13 Ом
R13=R31=R5=15 Ом
R23=R32=R4=4 Ом
E11=E1+E2=26+20=46 В
E22=-E2-E3=-20-47=-67 В
E33=0
Подставим найденные значения в систему уравнений:
30I11-13I22-15I33=46-13I11+29,4I22-4I33=-67-15I11-4I22+20I33=0
Составим расширенную матрицу системы и решим при помощи ПО Mathcad:
В результате получаем:
I11=0,869 А
I22=-1,856 А
I33=0,281 А
Выразим токи в ветвях через контурные токи:
I1=I11=0,869 А
I2=I11-I22=0,869--1,856=2,726 А
I3=-I22=--1,856=1,856 А
I4=-I22+I33=--1,856+0,281=2,137 А
I5=I11-I33=0,869-0,281=0,589 А
I6=I33=0,281 А
3) Преобразуем исходную электрическую цепь в эквивалентную, заменив треугольник сопротивлений R4, R5, R6 эквивалентной звездой.
R45=R4∙R5R4+R5+R6=4∙154+15+1=3 Ом
R46=R4∙R6R4+R5+R6=4∙14+15+1=0,2 Ом
R56=R5∙R6R4+R5+R6=15∙14+15+1=0,75 Ом
Преобразованная схема (рис. 4):
Рис. 4
Определяем проводимости ветвей:
G1=1R1+R56=12+0,75=0,364 См
G2=1R2+R45=113+3=0,063 См
G3=1R3+R03+R46=110+2,4+0,2=0,079 См
Вычисляем напряжение между узлами 2 и 0:
U20=E1G1-E2G2+E3G3G1+G2+G3=26∙0,364-20∙0,063+47∙0,0790,364+0,063+0,079=23,61 В
По закону Ома определяем токи в ветвях преобразованной схемы:
I1=E1-U20R1+R56=26-23,612+0,75=0,869 А
I2=E2+U20R2+R45=20+23,6113+3=2,726 А
I3=E3-U20R3+R03+R46=47-23,6110+2,4+0,2=1,856 А
Остальные токи исходной схемы определим по законам Кирхгофа:
-R2I2-R3+R03I3-R4I4=-E2-E3, откуда
I4=E2+E3-R2I2-R3+R03I3R4=20+47-13∙2,726-10+2,4∙1,8564=2,137 А
I2-I4-I5=0, откуда
I5=I2-I4=2,726-2,137=0,589 А
-I1+I5+I6=0, откуда
I6=I1-I5=0,869-0,589=0,281 А
4) Отключим в исходной схеме ветвь с сопротивлением R6 от зажимов 1-4 и определим напряжение холостого хода Uхх14 (рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
