Расчет линейных электрических цепей постоянного тока с несколькими источниками ЭДС

Рис.2.2. Расчетная схема
1. В схеме четыре узла (1, 2, 3,4), шесть ветвей (рис.2.2), следовательно, для определения токов в ветвях по законам Кирхгофа необходимо составить систему из шести уравнений для неизвестных токов и решить её. Число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть равно трем (количество узлов без единицы), а остальные три уравнения записываются по второму закону Кирхгофа для трех неизвестных контуров I, II, III. Например, если направление обхода выбрать по часовой стрелке, входящие в узел токи записать со знаком «+», выходящие с узла с «-», то система уравнений по законам Кирхгофа запишется как
I1-I2-I3=0-для узла 1-I1+I4+I6=0-для узла 2I3+I5-I6=0-для узла 3-I1(R1+R01)-I2(R2+R02)-I4R4=-E1-E2-для контура II2(R2+R02)-I3(R3+R03)+I5R5=E2-E3-для контура III4R4-I5R5-I6R6=0-для контура III
После подстановки заданных значений получим систему:
I1-I2-I3=0-I1+I4+I6=0I3+I5-I6=0-17,2I1-11,3I2-10I4=-6911,3I2-7,5I3+9I5=4210I4-9I5-12I6=0
Воспользуемся программой Mathcad. Здесь [R] - квадратная матрица коэффициентов при токах, [E] - матрица-столбец активных параметров, которыми в данном случае являются ЭДС. В общем виде решение будет как I=R-1∙E
Получили, что I1=1,662 A; I2=2,392 A; I3=-0,73 A; I4=1,338 A; I5=1,054 A; I6=0,324 A
Отрицательное значение тока I3=-0,73 A указывает на то, что в действительности он будет направлен в противоположную сторону относительно его обозначенного направления на рис.2.2.
Составим баланс мощностей
Суммарная мощность источников равна
Pист=E1I1+E2I2+E3I3=21∙1,662+48∙2,392+6∙-0,73=145,338 Вт
Суммарная мощность потребителей
Pпотр=I12R1+R01+I22R2+R02+I32R3+R03+I42R4+I52R5+I62R6=1,662215+2,2+2,392210+1,3+0,7325+2,5+1,3382∙10+1,0542∙9+0,3242∙12=145,323 Вт
Pист≈Pпотр
Баланс выполняется.
2. Находим токи методом контурных токов и узловых потенциалов
2.1. Метод контурных токов
Составляем систему уравнений для контуров с контурными токами (рис.2.2) I11, I22, I33:
I11R1+R01+R2+R02+R4-I22R2+R02-I33R4=-E1-E2-I11R2+R02+I22R2+R02+R3+R03+R5-I33R5=E2-E3-I11R4-I22R5+I33R4+R5+R6=0
После подстановки исходных данных имеем
38,5I11-11,3I22-10I33=-69-11,3I11+27,8I22-9I33=42-10I11-9I22+31I33=0
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
∆=38,5-11,3-10-11,327,8-9-10-931=38,5∙27,8∙31+-11,3∙-9∙-10+-11,3∙-9∙-10--10∙27,8∙-10--11,3∙-11,3∙31--9∙-9∙38,5=33179,3-1017-1017-2780-3958,39-3118,5=21288,41
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=-69-11,3-104227,8-90-931=-35382,6
∆2=38,5-69-10-11,342-9-10031=15546,3
∆3=38,5-11,3-69-11,327,842-10-90=-6900,3
Находим контурные токи
I11=∆1∆=-35382,621288,41=-1,662 А
I22=∆2∆=15546,321288,41=0,73 А
I33=∆3∆=-6900,321288,41=-0,324 А
В соответствии с принятыми направлениями токов в ветвях на рис.2.2 определяем токи в ветвях:
I1=-I11=1,662 А
I2=I22-I11=0,73-(-1,662)=2,392 А
I3=-I22=-0,73 А
I4=I33-I11=-0,324-(-1,662)=1,338 А
I5=I22-I33=0,73--0,324=1,054 А
I6=-I33=0,324 А
2.2 . Метод узловых потенциалов
Рис.2.3
Принимаем за опорный узел, например, узел 4, т.е. φ1=0 (рис.2.3).
Система уравнений, составленная по методу узловых потенциалов для данной цепи, в общем виде имеет вид:
φ1g11+φ2g12+φ3g13=J11φ1g21+φ2g22+φ3g23=J22φ1g31+φ2g32+φ3g33=J33
Определяем суммы проводимостей ветвей для узлов:
g11=1R1+R01+1R2+R02+1R3+R03=115+2,2+110+1,3+15+2,5=0,280 См
g22=1R1+R01+1R4+1R6=115+2,2+110+112=0,241 См
g33=1R3+R03+1R5+1R6=15+2,5+19+112=0,328 См
g12=g21=1R1+R01=115+2,2=0,058 См
g13=g31=1R3+R03=15+2,5=0,133 См
g23=g32=1R6=112=0,083 См
Определяем узловые токи:
J11=E1R1+R01+-E2R2+R02+-E3R3+R03=2115+2,2+-4810+1,3+-65+2,5=-3,827 A
J22=-E1R1+R01=-2115+2,2=-1,221 A
J33=E3R3+R03=65+2,5=0,8 A
В результате приведенных вычисленных значений система уравнений примет вид:
0,280φ1-0,058φ2-0,133φ3=-3,827-0,058φ1+0,241φ2-0,083φ3=-1,221-0,133φ1-0,083φ2+0,328φ3=0,8
Для упрощения расчетов воспользуемся программой Mathcad
Получили следующие значения потенциалов:
φ1=-20,901 В, φ2=-13,338 В, φ3=-9,411 В
Токи в ветвях находятся в соответствии с законом Ома.
I1=φ2-φ1+E1R1+R01=-13,338-(-20,901)+2115+2,2=1,661 A
I2=φ1-φ4+E2R2+R02=-20,901-0+4810+1,3=2,398 A
I3=φ1-φ3+E3R3+R03=-20,901-(-9,411)+65+2,5=-0,732 A
I4=φ4-φ2R4=0-(-13,338)10=1,334 A
I5=φ4-φ3R5=0-(-9,411)9=1,046 A
I6=φ3-φ2R6=-9,411-(-13,338)12=0,327 A
3. Заменив треугольник сопротивлений эквивалентной звездой (рис.2.4), находим токи в ветвях схемы методом двух узлов.
Рис.2.4. Эквивалентные преобразование треугольника сопротивлений R4, R5, R6 звезду
Приведем преобразованную схему к удобному для расчета виду (рис.2.5):
Рис.2.5. Расчетная схема к методу двух узлов
Находим значения эквивалентных сопротивлений преобразованной схемы:
R46=R4∙R6R4+R5+R6=10∙1210+9+12=3,871 Ом
R45=R4∙R5R4+R5+R6=10∙910+9+12=2,903 Ом
R56=R5∙R6R4+R5+R6=9∙1210+9+12=3,484 Ом
Определяем проводимости трех имеющихся в схеме ветвей:
G1=1R1+R01+R46=115+2,2+3,871=0,04746 См
G2=1R2+R02+R45=110+1,3+2,903=0,07041 См
G3=1R3+R03+R56=15+2,5+3,484=0,09104 См
Вычисляем узловое напряжение:
Uab=-E1G1+E2G2+E3G3G1+G2+G3=-21·0,04746+48·0,07041+6·0,091040,04746+0,07041+0,09104=14,02164 B
Вычисляем токи в каждой ветви:
I1=E1+UabG1=21+14,02164∙0,04746=1,662 A
I2=E2-UabG2=48-14,02164∙0,07041=2,392 A
I3=E3-UabG3=6-14,02164∙0,09104=-0,73 A
Ток I5 можем найти по рис.2.2, применяя второй закон Кирхгофа для контура I схемы