Расчет линейной электрической цепи синусоидального тока комплексным методом

Рассчитать комплексные токи и напряжения в ветвях цепи.
Принимаем начальную фазу тока во 2-ой ветви равной нулю, комплексный ток в этой ветви равен:
I2=2ej0°=2 А
Рассчитываем эквивалентное полное комплексное сопротивление цепи. Сопротивления Z4 и Z5 соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление:
Z45=Z4∙Z5Z4+Z5=j10∙10+j10j10+10+j10=10ej90°∙14,142ej45°10+j20=141,421ej135°22,361ej63,435°=6,325ej71,565°=2+j6 Ом
Полученное сопротивление соединено последовательно с Z3, их эквивалентное сопротивление:
Z345=Z3+Z45=-j6+2+j6=2 Ом
Полученное сопротивление соединено параллельно с Z2, их эквивалентное сопротивление:
Z2345=Z2∙Z345Z2+Z345=6∙26+2=1,5 Ом
Полученное сопротивление соединено последовательно с Z1, полное комплексное сопротивление цепи:
Z=Z1+Z2345=1,5-j3+1,5=3-j3=4,243e-j45° Ом
Комплексное напряжение на Z2:
U2=I2∙Z2=2∙6=12 В
Комплексный ток в неразветвленной части цепи:
I1=U2Z2345=121,5=8 А
Комплексное входное напряжение:
U=I1∙Z=8∙3-j3=24-j24=33,941e-j45° В
Комплексное напряжение на Z1:
U1=I1∙Z1=8∙1,5-j3=12-j24=26,833e-j63,435° В
Комплексный ток в 3-й ветви:
I3=U2Z345=122=6 А
Комплексное напряжение на Z3:
U3=I3∙Z3=6∙-j6=-j36=36e-j90° В
Комплексное напряжение на Z4 и Z5:
U45=I3∙Z45=6∙2+j6=12+j36=37,947ej71,565° В
Комплексный ток в 4-ой ветви:
I4=U45Z4=37,947ej71,565°10ej90°=3,795e-j18,435°=3,6-j1,2 А
Комплексный ток в 5-ой ветви:
I5=U45Z5=37,947ej71,565°14,142ej45°=2,683ej26,565°=2,4+j1,2 А
2 . Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. Проверить выполнение законов Кирхгофа.
Обозначим буквами a, b, c, d точки на исходной схеме:
Примем потенциал точки a равным нулю:
φa=0
Определим потенциалы остальных точек:
φb=φa-U=0-24-j24=-24+j24=33,941ej135° В
φc=φa+I2∙Z2=φa+U2=0+12=12 В
φd=φa+I4∙Z4=φa+U45=0+12+j36=12+j36=37,947ej71,565° В
Строим векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. Масштаб: 5 Всм; 1 Асм.
Проверяем выполнение законов Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа:
для узла c:
I1-I2-I3=0
8-2-6=0
для узла d:
I3-I4-I5=0
6-3,6-j1,2-2,4+j1,2=0
По второму закону Кирхгофа:
для контура a-b-c-a:
-U+U1+U2=0
-24-j24+12-j24+12=0
для контура a-c-d-a:
-U2+U3+U45=0
-12-j36+12+j36=0
3. Найдите угол φ сдвига по фазе между напряжением на входе цепи U и током I1. Определить характер цепи (активно-индуктивный или активно-емкостный). Рассчитать параметры последовательной и параллельной схем замещения двухполюсника. Рассчитать активные и реактивные составляющие комплексных тока и напряжения на входе двухполюсника.
Определяем угол φ сдвига по фазе между напряжением на входе цепи U и током I1:
U=33,941e-j45° В
I1=8 А
φ=ψu-ψi1=-45-0=-45°
Вектор тока опережает вектор напряжения на 45°, следовательно, цепь имеет активно-емкостной характер.
Определим параметры последовательной схемы замещения двухполюсника:
Z=UI1=R-jXC=33,941e-j45°8=4,243e-j45°=3-j3 Ом
R=ReZ=Re3-j3=3 Ом
XC=ImZ=Im3-j3=-3 Ом (знак «-» означает, что реактивное сопротивление имеет емкостной характер)
Определим параметры параллельной схемы замещения двухполюсника:
Y=1Z=I1U=833,941e-j45°=0,236ej45°=0,167+j0,167 См
g=ReY=Re0,167+j0,167=0,167 См
b=ImY=Im0,167+j0,167=0,167 См
Рассчитаем активные и реактивные составляющие комплексных тока и напряжения на входе двухполюсника:
Активная составляющая входного напряжения:
Uа=U∙cosφ=33,941∙cos-45°=24 В
Реактивная составляющая входного напряжения:
Uр=U∙sinφ=33,941∙sin-45°=-24 В (знак «-» означает, что реактивная составляющая имеет емкостной характер).
Комплексные активная реактивная составляющие напряжения:
Uа=Uаejψi1=24ej0°=24 В
Uр=Uрjejψi1=-24∙j∙ej0°=-j24 В
Комплексное напряжение:
U=Uа+Uр=24-j24=33,9416e-j45° В
Активная составляющая тока:
I1а=I1∙cosφ=8∙cos-45°=5,657 А
Реактивная составляющая тока:
I1р=I1∙sinφ=8∙sin-45°=10∙-0,316=-5,657 А
Комплексные активная реактивная составляющие тока:
I1а=I1аejψu=5,657e-j45° =4-j4 А
I1р=-jI1рejψu=j5,657e-j45° =5,657ej-45+90°=5,657ej45°=4+j4 А
Комплексный ток:
I1=I1а+I1р=4-j4+4+j4=8 А
4