Расчет линейной электрической цепи однофазного синусоидального тока

Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и законе Ома в комплексной форме.
Токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнения в виде комплексных величин.
Составим символическую схему замещения исходной схемы, определим для неё комплекс действующего значения входного напряжения и полные комплексные сопротивления элементов схемы.
Рисунок 2 – Комплексная схема замещения цепи
Угловая (циклическая) частота переменного тока:
ω=2*π*f=2*3,14159*50=314,159
ω=314,159 радс
ut=Um*sin ω*t+ψ В
et=380*sin 314,159*t+80° В
Представим исходные данные в комплексной (символической) форме.
В цепях синусоидального тока между амплитудным и действующим значениями существует взаимосвязь – комплекс действующего значения ЭДС:
E=Um2*ej*80°=3802*ej*80°=268,701*ej*80°=46,659+j*264,619
E=46,659+j*264,619 =268,701*ej*80° В
Комплексные сопротивления реактивных элементов:
Емкостное сопротивление в комплексной форме:
C1=30 мкФ=30*10-6 Ф
ZC1=1j*ω*C1=1j*314,159*30*10-6=-j*106,103=106,103*e-j∙90°
ZC1=-j*106,103=106,103*e-j∙90° Ом
C2=20 мкФ=20*10-6 Ф
ZC2=1j*ω*C2=1j*314,159*20*10-6=-j*159,155=159,155*e-j∙90°
ZC2=-j*159,155=159,155*e-j∙90° Ом
Индуктивное сопротивление в комплексной форме:
ZL1=j*ω*L1=j*314,159*0,12=j*37,699=37,699*ej∙90°
ZL1=j*37,699=37,699*ej∙90° Ом
ZL3=j*ω*L3=j*314,159*0,12=j*37,699=37,699*ej∙90°
ZL3=j*37,699=37,699*ej∙90° Ом
Комплексные сопротивления отдельных ветвей:
Z1=r1+ZC1+ZL1=25-j*106,103+j*37,699=25-j*68,404
Z1=25-j*68,404=72,829*e-j∙69,9° Ом
Z2=r2+ZC2=18-j*159,155=160,17*e-j∙83,5°
Z2=18-j*159,155=160,17*e-j∙83,5° Ом
Z3=r3+ZL3=25+j*37,699=45,235*ej∙56,5°
Z3=25+j*37,699=45,235*ej∙56,5° Ом
Комплексное сопротивление параллельного участка цепи ab:
Zab=Z2*Z3Z2+Z3=18-j*159,155*25+j*37,69918-j*159,155+25+j*37,699=
=6450,001+j*3300,29143-j*121,456=40,854+j*38,642=56,234*ej∙43,4°
Zab=40,854+j*38,642=56,234*ej∙43,4° Ом
Комплексное входное сопротивление цепи:
Z=Z1+Zab=25-j*68,404+40,854+j*38,642=65,854-j*29,672
Z=65,854-j*29,672=72,267*e-j∙24,3° Ом
Находим комплекс действующего значения тока в ветви с источником Э.Д.С:
I1=EZ=268,701*ej*80°72,267*e-j∙24,3°=3,718*ej*104,3°=-0,919+j*3,603
I1=-0,919+j*3,603=3,718*ej*104,3° А
Комплексное падение напряжения на параллельном участке цепи ab:
Uab=I1*Zab=3,718*ej*104,3°*56,234*ej∙43,4°=209,087*ej∙147,7°
Uab=-176,685+j*111,644=209,087*ej∙147,7° В
Комплексы действующих значений токов в параллельных ветвях ab:
I2=UabZ2=209,087*ej∙147,7°160,17*e-j∙83,5°=1,305*ej∙231,2°=1,305*e-j∙128,8°
I2=-0,817-j*1,018=1,305*e-j∙128,8° А
I3=UabZ3=209,087*ej∙147,7°45,235*ej∙56,5°=4,622*ej∙91,2°=-0,103+j*4,621
I3=-0,103+j*4,621=4,622*ej∙91,2° А
Комплексное падение напряжения на отдельных элементах цепи:
UR1=I1*R1=3,718*ej*104,3°*25=92,95*ej*104,3°
UR1=-22,991+j*90,067=92,95*ej*104,3° В
UR2=I2*R2=1,305*e-j∙128,8°*18=23,49*e-j∙128,8°
UR2=-14,7-j*18,331=23,49*e-j∙128,8° В
UR3=I3*R3=4,622*ej∙91,2°*25=115,55*ej∙91,2°
UR3=-2,574+j*115,527=115,55*ej∙91,2° В
UС1=I1*ZC1=3,718*ej*104,3°*106,103*e-j∙90°=394,511*ej*14,3°
UС1=382,253+j*97,579=394,511*ej*14,3° В
UС2=I2*ZC2=1,305*e-j∙128,8°*159,155*e-j∙90°=207,762*ej*141,3°
UС2=-162,085+j*129,975=207,762*ej*141,3° В
UL1=I1*ZL1=3,718*ej*104,3°*37,699*ej∙90°=140,172*e-j*165,7°
UL1=-135,817-j*34,67=140,172*e-j*165,7° В
UL3=I3*ZL3=4,622*ej∙91,2°*37,699*ej∙90°=174,253*e-j*178,7°
UL3=-174,21-j*3,883=174,253*e-j*178,7° В
Проверка баланса мощностей.
Алгебраическая сумма комплексов мощностей, отдаваемых источниками, равна алгебраической сумме комплексов мощностей, потребляемых остальными элементами.
Комплексная мощность источника цепи:
Sист=E*I1*=Pист+j*Qист
Сопряженный комплексный ток источника:
I1=3,718*ej*104,3° А
I1*=3,718*e-j*104,3° А
Sист=268,701*ej*80°*3,718*e-j*104,3°=999,03*e-j*24,3°
Sист=910,519-j*411,115=999,03*e-j*24,3° В∙А
Активная мощность источника равна действительной части комплексной мощности, а реактивная мощность – мнимой части:
Pист=Re Sист=910,519 Вт
Qист=Im Sист=-411,115 Вар
Активная мощность нагрузок равна:
Pнагр=I12*r1+I22*r2+I32*r3=3,7182*25+1,3052*18+
+4,6222*25=345,588+30,654+534,072=910,314
Pнагр=910,314 Вт
А реактивная мощность:
Qнагр=I12*ZC1+I12*ZL1+I22*ZC2+I32*ZL3=
=3,7182*-106,103+3,7182*37,699+1,3052*-159,155+
+4,6222*37,699=-1466,717+521,133-271,045+805,359=-411,27
Qнагр=-411,27 Вар
Pист=910,519 Вт≈Pнагр=910,314 Вт
Qист=-411,115 Вар≈Qнагр=-411,27 Вар
Относительная ошибка расхождения баланса в допустимых пределах:
δP=Pист-PприемPист*100%=910,519 -910,314910,519 *100%=0,0225%
δP=0,0225%≪5%
δQ=Qист-QнагрQист*100%=-411,115 --411,27-411,115 *100%=0,0377%
δP=0,0377%≪5%
Рисунок 3 – Векторная диаграмма токов
Построим топографическую диаграмму, совмещённую с векторной диаграммой токов.
На схеме замещения заземляем точку b, принимаем её комплексный потенциал за нулевой, и определяем комплексные потенциалы остальных точек схемы относительно заземлённой.
φb=0
φd=φb+I2*ZC2=UС2=-162,085+j*129,975
φd=-162,085+j*129,975 В
φa=φd+I2*R2=φd+UR2
φa=-162,085+j*129,975-14,7-j*18,331=-176,785+j*111,644
φa=-176,785+j*111,644 В
φc=φb+I3*ZL3=UL3=-174,21-j*3,883
φc-174,21-j*3,883 В
φg=φa+I1*ZL1=φa+UL1
φg=-176,785+j*111,64-135,817-j*34,67=-312,602+j*76,974
φg=-312,602+j*76,974 В
φf=φg+I1*ZC1=φg+UС1
φf=-312,602+j*76,974+382,25+j*97,579=69,651+j*174,552
φf=69,651+j*174,552 В
φe=φf+I1*R1=φf+UR1
φe=69,651+j*174,552-22,991+j*90,067=46,659+j*264,619
φe=46,659+j*264,619 В
Рисунок 2 – Топографическая диаграмма напряжений, совмещённая с векторной диаграммой токов
Запишем закон изменения мгновенного значения тока первой ветви:
I1=3,718*ej*104,3° А
i1t=3,718*2*sin 314,159*t+104,3° А
i1t=5,258*sin 314,159*t+104,3° А
Рисунок 3 График мгновенного значения тока в ветви с источником Э.Д.С