Расчет цепи синусоидального тока 42792651052195 00 38715951057275

Выразим в комплексной (символической) форме напряжение источника ЭДС и источника тока (действующие значения):
e=70sinωt+50° В⟹E=702ej50°=49,5ej50°=31,816+j37,917 В
j0=30sinωt+25° А⟹J0=302ej25°=21,21ej25°=19,226+j8,965 А
Найдем емкостные сопротивления конденсаторов и индуктивные сопротивления катушек индуктивности:
XC2=-j1ωC2=-j12πfC2=-j1062∙π∙500∙9=-j35,37 Ом
XC3=-j1ωC3=-j12πfC3=-j1062∙π∙500∙50=-j6,366 Ом
XL1=jωL1=j2πfL1=j2∙π∙500∙1,2∙103=j3,77 Ом
XL2=jωL2=j2πfL2=j2∙π∙500∙5∙103=j15,708 Ом
XL3=jωL3=j2πfL3=j2∙π∙500∙100∙103=j314,159 Ом
Для электрической цепи система уравнений в контурных токах будет иметь вид:
XL+R+R0+R1+XL1+R2+XL2+XC2IК1-R2+XL2+XC2IК3=E-R0J0R2+R3+XL3+XC3+XC2+XL2IК3-R2+XL2+XC2IК1=0
Или в матричной форме:
XL+R+R0+R1+XL1+R2+XL2+XC2-R2+XL2+XC2-R2+XL2+XC2R2+R3+XL3+XC3+XC2+XL2××IК1IК3=E-R0J00
Раскрыв главный определитель системы, получим:
∆=j3+4+4+10+j3,77+14+j15,708-j35,37-14+j15,708-j35,37-14+j15,708-j35,3714+15+j314,159-j6,366-j35,37+j15,708=32-j12,89-14+j19,66-14+j19,6629+j288,133=4832,514+j9396,932=10566,718ej62,785° Ом2
Произведя замену первого столбца в матрице коэффициентов столбцовой матрицей свободных параметров, будем иметь:
∆1=31,816+j37,917-4∙19,226+j8,965-14+j15,708-j35,37014+15+j314,159-j6,366-j35,37+j15,708=-45,09+j2,06-14+j19,66029+j288,133=-1900,172-j12931,242=13070,106e-j98,359° В∙Ом
Находим ток IК1=I1
IК1=I1=∆1∆=13070,106e-j98,359°10566,718ej62,785°=1,237e-j161,144°=-1,171-j0,4 А
Произведя замену второго столбца в матрице коэффициентов столбцовой матрицей свободных параметров, получим:
∆2=j3+4+4+10+j3,77+14+j15,708-j35,3731,816+j37,917-4∙19,226+j8,965-14+j15,708-j35,370=32-j12,89-45,086+j2,057-14+j19,660=-590,771+j915,187=1089,301ej122,843° В∙Ом
Находим ток IК3=I3
IК3=I3=∆2∆=1089,301ej122,843°10566,718ej62,785°=0,103ej60,058°=0,051+j0,089 А
Ищем ток I2:
I2=I1-I3=-1,171-j0,4-0,051+j0,089=-1,222-j0,489=1,316e-j158,187° А
Ищем ток I0:
I0=J0+I1=19,23+j38,97-1,171-j0,4=18,055+j8,565=19,984ej25,38° А
Проверка по второму закону Кирхгофа
Обходим, например, контур, состоящий из двух параллельных ветвей.
R2+XL2+XC2I2-R3+XL3+XC3I3=0⟹14+j15,708-j35,37∙-1,222-j0,489-15+j314,159-j6,366∙0,051+j0,089⟹14-j19,66∙-1,222-j0,489-15+j307,793∙0,051+j0,089⟹-26,723+j17,177--26,723+j17,177=0
Находим напряжение между узлами 1,2:
U1,2=-R1+XL1∙I1=-10+j3,77∙-1,171-j0,4=10,198+j8,41=13,219ej39,512° В
Ищем напряжение между узлами 2,3:
U2,3=-R0I0=-4∙19,984ej25,38°=79,935e-j154,62°=-72,221-j34,261 В
Ищем напряжение между узлами 3,4:
U3,4=E-R+XL∙I1=31,82+j37,92-4+j3∙-1,171-j0,4=35,299+j43,028=55,655ej50,635° В
Находим напряжение между узлами 4,1:
U4,1=-R2+XL2+XC2∙I2=-14+j15,708-j35,37∙-1,222-j0,489=26,723-j17,177=31,767e-j32,732° В,
или
U4,1=-R3+XL3+XC3∙I3=-15+j314,159-j6,366∙0,051+j0,089=26,723-j17,177=31,767e-j32,732° В
Баланс мощностей
Комплексная мощность цепи:
S=EI*1+U32J*0=31,82+j37,92∙-1,171+j0,4+72,221+j34,261∙19,23-j38,97=1643,248-j20,431 ВА
Здесь: 1643,248 – активная мощность, - 20,431 (без j) – реактивная мощность.
Активная мощность цепи:
ΣP=R∙I12+R0∙I02+R1∙I12+R2∙I22+R3∙I32=4∙1,2372+4∙19,9842+10∙1,2372+14∙1,3162+15∙0,1032=1643,248 Вт
Реактивная мощность цепи (без j):
ΣQ=I12∙XL1+I12∙XL+I22∙XL2+I22∙XC2+I32∙XL3+I32∙XC3=1,2372∙3,77+1,2372∙3+1,3162∙15,708-1,3162∙35,37+0,1032∙314,159-0,1032∙6,366=- 20,431 ВАр
Показания приборов
Показание вольтметра: V=U2,4,
где U2,4=U2,1+U1,4=-10,198-j8,41-26,723+j17,177=-36,921+j8,767=37,948ej166,643° В
Тогда: V=U2,4=37,948 В (действующее значение).
Показание амперметра: A=I1=1,237 А (действующее значение).
Показание ваттметра: W=P=1643,248 Вт (активная мощность).
Находим коэффициент мощности цепи (cosφ):
cosφ=PS=PP2+Q2=1643,2481643,2482+-20,4312=1643,375 ВА
Строим векторную диаграмму (масштаб по напряжению 10 В/см, по току 0,1 А/см).