Пусть есть выборка X=(X1 X2 … Xn) из логнормального распределения с неизвестными параметрами a. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по теории вероятности
Пусть есть выборка X=(X1 X2 … Xn) из логнормального распределения с неизвестными параметрами a

Пусть есть выборка X=(X1 X2 … Xn) из логнормального распределения с неизвестными параметрами a .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Пусть есть выборка X=(X1,X2,…,Xn) из логнормального распределения с неизвестными параметрами a, σ. Найти оценки неизвестных параметров методом моментов и методом максимального правдоподобия. Являются ли эти оценки несмещенными, состоятельными?

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдем оценки параметров методом моментов для логнормального распределения:
a=lnE(X)-12∙ln1+DXE2X=lnEX-12∙ln1+EX2-E2XE2X=lnEX-12∙lnEX2E2X=lnEX-12∙lnEX2-2lnEX=2lnX1+X2+…+Xnn-12∙lnX12+X22+…+Xn2n=2lnX1+X2+…+Xn-2lnn-12∙lnX12+X22+…+Xn2+12∙lnn=2lnX1+X2+…+Xn-12∙lnX12+X22+…+Xn2-32∙lnn
σ2=ln1+DXE2X=lnEX2E2X=lnn∙X12+X22+…+Xn2X1+X2+…+Xn2=lnn+lni=1nXi2-2∙lni=1nXi
Тогда:
σ=lnn∙X12+X22+…+Xn2X1+X2+…+Xn2=lnn∙X12+X22+…+Xn2X1+X2+…+Xn=12∙lnn+12∙lnX12+X22+…+Xn2-ln(X1+X2+…+Xn)
Проверим несмещённость и состоятельность:
Ma=1n∙i=1nai=1n∙i=1n2lnX1+X2+…+Xn-12∙lnX12+X22+…+Xn2-32∙lnn=1n∙n∙2lnX1+X2+…+Xn-12∙lnX12+X22+…+Xn2-32∙lnn=a.
При n→∞ имеем a=0, следовательно, оценка a является несмещенной и состоятельной.
M(σ)=1n∙i=1nσi=1n∙i=1n12∙lnn+12∙lnX12+X22+…+Xn2-lnX1+X2+…+Xn=1n∙n∙12∙lnn+12∙lnX12+X22+…+Xn2-lnX1+X2+…+Xn=σ.
При n→∞ имеем σ=0, следовательно, оценка σ является несмещенной и состоятельной.
Найдем оценки методом максимального правдоподобия.
Составим функцию правдоподобия:
L=i=1nf(xi,a,σ)=i=1n1xiσ2π∙exp-12∙lnxi-aσ2=1σ2πn∙i=1n1xi∙exp-12∙i=1nlnx-aσ2
Найдем логарифмическую функцию правдоподобия:
lnL=ln1σ2πn∙i=1n1xi∙exp-12∙i=1nlnx-aσ2=ln1σ2πn+lni=1n1xi+lnexp-12∙i=1nlnx-aσ2=n∙ln1σ2π+i=1nln1xi-12∙i=1nlnx-aσ2
Найдем первую производную по a и σ:
∂lnL∂a=n∙ln1σ2π∂∂a+i=1nln1xi∂∂a-12∙i=1nlnxi-aσ2∂∂a=0+0-12∙i=1n2∙lnxi-aσ∙1σ0-1=1σ2i=1nlnxi-na
∂lnL∂σ=n∙ln1σ2π∂∂σ+i=1nln1xi∂∂σ-12∙i=1nlnxi-aσ2∂∂σ=n∙11σ2π∙12π∙-1σ2+0-12∙i=1n2∙lnxi-aσ∙lnxi-a∙-1σ2=-nσ+1σ3∙i=1nlnxi-a2 =-nσ+1σ3∙i=1nln2xi-2alnxi+a2=-nσ+1σ3∙i=1nln2xi-2ai=1nlnxi+na2
Приравниваем полученные выражения к нулю:
1σ2i=1nlnxi-na=0
-nσ+1σ3∙i=1nln2xi-2ai=1nlnxi+na2 =0
Откуда:
a=1n∙i=1nlnxi
σ2=1n2∙n-2∙i=1nln2xi+i=1nlnxi2
Тогда:
σ=1n∙n-2∙i=1nln2xi+i=1nlnxi2
Проверим несмещённость и состоятельность:
Ma=1n∙i=1nai=1n∙i=1n1n∙i=1nlnxi=1n∙n∙1n∙i=1nlnxi=1n∙i=1nlnxi=a.
При n→∞ имеем a=0, следовательно, оценка a является несмещенной и состоятельной.
Mσ=1n∙i=1nσi=1n∙i=1n1n∙n-2∙i=1nln2xi+i=1nlnxi2=1n∙n∙1n∙n-2∙i=1nln2xi+i=1nlnxi2=1n∙n-2∙i=1nln2xi+i=1nlnxi2=σ.
При n→∞ имеем σ=0, следовательно, оценка σ является несмещенной и состоятельной.

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу

Пусть есть выборка X=(X1 X2 … Xn) из логнормального распределения с неизвестными параметрами a

Условие

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Изучим методы эффективного кодирования на примере небольшого текста на русском языке

Два бомбардировщика с разных направлений преодолевают зону ПВО

Вероятность появления события А в одном испытании равна p