Пусть СВ X имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием

A=0 – математическое ожидание.
Функция Лапласа
Φx=0,5+12π0xe-t22dt
Вероятность попадания случайной величины X в интервал
P5<X<10=Ф10-0σ-Ф5-0σ=Ф10σ-Ф5σ=0,5+12π010σe-t22dt-0,5-12π05σe-t22dt=12π010σe-t22dt-12π05σe-t22dt=fσ
Для нахождения параметра σ, при котором функция fσ принимает наибольшее значение, приравняем первую производную функции к нулю, то есть найдем параметр σ из уравнения
f'σ=0
Первая производная fσ
f'σ=12π010σe-t22dt-12π05σe-t22dt'=12π∙e-10σ22∙-10σ2-12π∙e-5σ22∙-5σ2=-10σ22π∙e-1002σ2+5σ22π∙e-252σ2
Тогда
-10σ22π∙e-1002σ2+5σ22π∙e-252σ2=0
5σ22π∙e-252σ2=10σ22π∙e-1002σ2
5σ2∙e-252σ2=10σ2∙e-1002σ2
ln5σ2∙e-252σ2=ln10σ2∙e-1002σ2
ln5σ2+lne-252σ2=ln10σ2+lne-1002σ2
ln5-lnσ2-252σ2=ln10-lnσ2-1002σ2
1002σ2-252σ2=ln10-ln5
100-252σ2=ln10-ln5
σ2=100-252∙ln10-ln5
σ=100-252∙ln10-ln5=752∙ln2+ln5-ln5=752∙ln2≈7,3553
f'1=-102π∙e-1002+52π∙e-252≈0,0341>0, а f'10=-101002π∙e-100200+51002π∙e-25200≈-4,9826<0, то есть при переходе через найденную точку σ производная f'σ меняет знак с плюса на минус, следовательно σ точка максимума.
Искомое значение параметра
σ=100-252∙ln10-ln5=752∙ln2≈7,3553
Ответ: 100-252∙ln10-ln5≈7,3553.