Психолог выясняет, связаны ли между собой индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения в школе у 9 первоклассников и их средняя успеваемость в конце учебного года. Для решения этой задачи были проранжированы оба показателя, и результаты представлены в таблице.
X
3 5 6 4 11 9 2 7 7
Y
2 6 7 4 8 10 1 7 6
Провести корреляционно-регрессионный анализ:
построить корреляционное поле. Сделать предположение о характере связи (направление и силе);
предполагая, что данная зависимость между X и Y близка к линейной найти выборочный коэффициент корреляции rxy;
проверить достоверность найденного значения выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости α=0,05;
найти уравнение регрессии Y на X;
построить линию регрессии на графику экспериментальных данных;
найти прогнозное значение признака y (yp), если прогнозное значение x равно xp=0,8xср.
Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.
Решение
Построить корреляционное поле. Сделать предположение о характере связи (направление и силе)
Вывод 1: анализ корреляционного поля показывает, что между индивидуальными показателями готовности к школе, полученные до начала обучения и средней успеваемостью в конце учебного года существует положительная заметная связь.
предполагая, что данная зависимость между X и Y близка к линейной найти выборочный коэффициент корреляции rXY
Для вычисления выборочного коэффициента парной корреляции rxy используем формулу
rXY=XY-X∙YσX∙σY
Промежуточные вычисления выполним в таблице
№
X
Y
XY
X2
Y2
1 3 2 6 9 4
2 5 6 30 25 36
3 6 7 42 36 49
4 4 4 16 16 16
5 11 8 88 121 64
6 9 10 90 81 100
7 2 1 2 4 1
8 7 7 49 49 49
9 7 6 42 49 36
Σ (сумма)
54 51 365 390 355
среднее 6 5,6667 40,5556 43,3333 39,4444
Вычислим
X=1nxi=549=6
Y=1nyi=519≈5,6667
XY=1nxiyi=3659≈40,5556
X2=1nxi2=3909≈43,3333
Y2=1nyi2=3559≈39,4444
X2=62=36
Y2=5,66672≈32,1115
σX=X2-X2=43,3333-36=7,3333≈2,708
σY=Y2-Y2=39,4444-32,1115=7,3329≈2,7079
Выборочный коэффициент парной корреляции
rXY=XY-X∙YσX∙σY=40,5556-6∙5,66672,708∙2,7079≈+0,894
Вывод 2: Полученное значение выборочного коэффициента парной корреляции rXY показывает согласно шкале Чеддока, что в выборочно совокупностью между признаками Y (средняя успеваемость в конце учебного года) и X (индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения) обнаружена сильная положительная связь.
проверить достоверность найденного значения выборочного коэффициента корреляции при уровне значимости α=0,05
Вычислим наблюдаемое значение критерия достоверности tнабл по формуле
tнабл=rXY∙n-21-rXY2=0,894∙9-21-0,8942≈5,279
Найдем стандартное значение критерия достоверности tстα;v=n-2 по таблице значений коэффициентов Стьюдента
tст0,05;7=2,36
Сравнение tнабл с tстα;v показывает, что tнабл>tстα;v.
Вывод 3: При уровне значимости α=0,05 можно утверждать, что в генеральной совокупности между признаками X и Y существует сильная положительная связь.
найти уравнение регрессии Y на X
Параметры b0 и b1 уравнения регрессии y=b0+b1∙x найдем из системы линейных алгебраических уравнений, полученной МНК
b1∙X2+b0∙X=XYb1∙X+b0=Y⟹b0=Y-b1∙Xb1=XY-X∙YX2-X2
Вычисляем
b1=XY-X∙YX2-X2=40,5556-6∙5,666743,3333-36≈0,894
b0=Y-b1∙X=5,6667-0,894∙6≈0,303
Запишем уравнение регрессии
y=0,303+0,894∙x
построить линию регрессии на графику экспериментальных данных
Для построения прямой достаточно двух точек
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
