Провести полную обработку экспериментальных данных по заданной выборке объема n, взятой из генеральной совокупности нормально распределенной случайной величины ξ с заданной доверительной вероятностью γ.
Найти вариационный ряд, полигон частот.
Составить интервальную таблицу по данным выборки (взять 7–10 интервалов), построить гистограмму частот.
Методом условных вариант найти выборочное среднее x и выборочную дисперсию s2.
Найти доверительный интервал для m=Mξ
в случае известного среднеквадратического отклонения σ (в качестве известного σ взять найденную величину s);
в случае неизвестного σ.
Найти доверительный интервал для среднеквадратического отклонения σ=D[ξ].
По критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности γ=0,99.
Выборка
1,18 1,21 1,13 1,25 1,22 1,26 1,23 1,21 1,16 1,11
1,27 1,28 1,24 1,15 1,18 1,29 1,17 1,22 1,19 1,20
1,14 1,22 1,16 1,25 1,22 1,21 1,19 1,18 1,23 1,26
Решение
Найти вариационный ряд, полигон частот.
Объем выборки n=30
Для построения вариационного ряда занесем в первый столбец таблицы неповторяющиеся значения случайной величины xi, а во второй – частоту ni их повторений в выборке (табл. 1).
Контроль: ni=n=30.
Табл. 1. Вариационный ряд
xi
ni
1,11 1
1,13 1
1,14 1
1,15 1
1,16 2
1,17 1
1,18 3
1,19 2
1,20 1
1,21 3
1,22 4
1,23 2
1,24 1
1,25 2
1,26 2
1,27 1
1,28 1
1,29 1
Полигон частот – это ломаная, соединяющая соседние точки xi;ni (рис. 1).
Рис. 1. Полигон частот
Составить интервальную таблицу по данным выборки (взять 7–10 интервалов), построить гистограмму частот.
Минимальное и максимальное значения случайной величины равны:
xmin=1,10, xmax=1,29
Размах выборки:
R=xmax-xmin=1,29-1,10=0,19
Если будем составлять интервальный ряд из 10 интервалов, то размер интервала равен:
h=0,1910=0,019≈0,02
Увеличим диапазон, содержащий все значения случайной величины из исходной выборки: [1,10;1,30], разобьем его на 10 интервалов длиной 0,02.
Получим следующее интервальный ряд распределения (табл. 2).
Табл. 2. Интервальный ряд распределения
интервал 1,10..1,12 1,12..1,14 1,14..1,16 1,16..1,18 1,18..1,2 1,2..1,22 1,22..1,24 1,24..1,26 1,26..1,28 1,28..1,3
частота 1 2 3 4 3 7 3 4 2 1
Найдем относительные частоты по формуле: wi=nin, n=ni=30.
Затем найдем плотности относительных частот: wih, h – длина интервала, h=0,02.
Результаты сведем в таблицу 3:
номер интервала
i
интервал
xi-xi+1
сумма частот вариант интервала
ni
относительные частоты
wi=nin
плотности относительных частот
wih
1 1,10..1,12 1 0,033 1,667
2 1,12..1,14 2 0,067 3,333
3 1,14..1,16 3 0,100 5,000
4 1,16..1,18 4 0,133 6,667
5 1,18..1,2 3 0,100 5,000
6 1,2..1,22 7 0,233 11,667
7 1,22..1,24 3 0,100 5,000
8 1,24..1,26 4 0,133 6,667
9 1,26..1,28 2 0,067 3,333
10 1,28..1,3 1 0,033 1,667
Построим гистограмму относительных частот. Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы, а по оси ординат откладываем плотности относительных частот.
Рис. 2. Гистограмма относительных частот
Методом условных вариант найти выборочное среднее x и выборочную дисперсию s2.
Перейдем к серединам xi* частичных интервалов [xi,xi+1]
. Получим следующее распределение (табл. 4).
Табл. 4. Переход к серединам частичных интервалов
интервал 1,10..1,12 1,12..1,14 1,14..1,16 1,16..1,18 1,18..1,2 1,2..1,22 1,22..1,24 1,24..1,26 1,26..1,28 1,28..1,3
xi*
1,11 1,13 1,15 1,17 1,19 1,21 1,23 1,25 1,27 1,29
частота 1 2 3 4 3 7 3 4 2 1
Перейдем к условным вариантам: , где С – ложный нуль; h – шаг, т.е. разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами.
В качестве ложного нуля возьмем C=1,19 – это значение расположено в середине ряда.
Тогда u1=1,11-1,190,02=-4. Подобным образом, получим остальные значения условных вариант (табл. 5).
Табл. 5. Переход к условным вариантам
Интервал Середина интервала Частота
ni
Условная варианта, ui
niui
niui2
ni(ui+1)2
1,10..1,12 1,11 1 -4 -4 16 9
1,12..1,14 1,13 2 -3 -6 18 8
1,14..1,16 1,15 3 -2 -6 12 3
1,16..1,18 1,17 4 -1 -4 4 0
1,18..1,2 1,19 3 0 0 0 3
1,2..1,22 1,21 7 1 7 7 28
1,22..1,24 1,23 3 2 6 12 27
1,24..1,26 1,25 4 3 12 36 64
1,26..1,28 1,27 2 4 8 32 50
1,28..1,3 1,29 1 5 5 25 36
30
18 162 228
Добавляем в табл. 5 столбцы для промежуточных вычислений: niui, niui2, ni(ui+1)2.
Контроль: niui2+2niui+n=162+36+30=228=ni(ui+1)2
Найдем условные моменты первого и второго порядков:
, .
M1*=1830=0,6, M2*=16230=5,4
Найдем выборочную среднюю и дисперсию по формулам:
x=M1*h+C, s2=M2*-M1*2h2
x=0,6∙0,02+1,19=1,202
s2=5,4-0,620,022≈0,002
s≈0,002≈0,045
Найти доверительный интервал для m=Mξ
в случае известного среднеквадратического отклонения σ (в качестве известного σ взять найденную величину s);
в случае неизвестного σ.
в случае известного среднеквадратического отклонения σ (в качестве известного σ взять найденную величину s).
Доверительный интервал в этом случае представляет собой интервал , где t определяется из соотношения 2Φt=γ, где Φt – интегральная функция Лапласа.
Φt=γ2
Если γ=0,99, то Φt=0,495, тогда по таблице значений интегральной функции Лапласа t=2,58.
Тогда левая граница доверительного интервала равна:
x-tσn=1,202-2,58∙0,04530≈1,181
Правая граница доверительного интервала равна:
x+tσn=1,202+2,58∙0,04530≈1,223
Таким образом, значение математического ожидания с вероятностью 99% попадает в интервал 1,181;1,223.
в случае неизвестного σ.
В этом случае доверительный интервал имеет вид , где tγ – точноcть оценки, определяемая по заданным n и γ по таблице значений .
tγ=t0,99;30=2,756
Тогда левая граница доверительного интервала равна:
x-tγsn=1,202-2,756∙0,04530≈1,179
Правая граница доверительного интервала равна:
x+tγsn=1,202+2,756∙0,04530≈1,225
Таким образом, значение математического ожидания с вероятностью 99% попадает в интервал 1,179;1,225.
Найти доверительный интервал для среднеквадратического отклонения σ.
.
Параметр q определяется соответствующими n и γ по таблице значений .
q0,99;30=0,43
Тогда получим:
0,045∙1-0,43<σ<0,045∙1+0,43
0,02565<σ<0,06435
Таким образом, значение среднеквадратического отклонения с вероятностью 99% попадает в интервал 0,02565;0,06435.
По критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности γ=0,99.
Интервальный ряд распределения имеет вид:
интервал 1,10..1,12 1,12..1,14 1,14..1,16 1,16..1,18 1,18..1,2 1,2..1,22 1,22..1,24 1,24..1,26 1,26..1,28 1,28..1,3
частота 1 2 3 4 3 7 3 4 2 1
Выборочная средняя: x=1,202
Исправленная выборочная дисперсия: s2=0,002
Исправленное среднее квадратическое отклонение: s=0,045
Уровень значимости α=1-γ=1-0,99=0,01
Объединение интервалов с малочисленными частотами
В выборке присутствуют интервалы, содержащие малочисленные эмпирические частоты (ni<5)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
