Провести идентификацию эмпирической математической модели в случаях

Под идентификацией эмпирической математической модели понимается оценка параметров модели (коэффициентов).
Для нахождения коэффициентов уравнения применим метод наименьших квадратов (МНК). Для этого необходимо минимизировать функцию:
, где N – число наблюдений в выборке, – отклонения (остатки).
Необходимым условием существования минимума функции является равенство нулю частных производных данной функции по параметрам модели. Получается система нормальных уравнений, решение которой дает искомые параметры.
Введем обозначения
, , ,
Система нормальных уравнений (после применения МНК) в матричной форме имеет вид:
(XTX)A=XTW. Тогда вектор коэффициентов уравнения рассчитывается следующим образом: A=(XTX)-1⋅XTW.
А) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка W = a0 + a1x + a2x2, 0 ≤ x ≤ 10.
Составим матрицу коэффициентов:
x x2
1 0 0
18,1
1 1 1
25,3
1 2 4
29,4
1 3 9
28,5
1 4 16
W = 32
1 5 25
36,5
1 6 36
47,6
1 7 49
45,2
1 8 64
39,9
1 9 81
56
1 10 100
65,3
Рассчитаем следующие матрицы:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
11 55 385
0,5804 -0,2203 0,0175
55 385 3025
-0,2203 0,1256 -0,0117
385 3025 25333
0,0175 -0,0117 0,0012
423,8
21,1098
2558,3
2,2932
19371,9
0,1700
Таким образом, параметры модели равны A=21,10982,29320,17, а одномерное уравнение 2-го порядка выглядит следующим образом W=21,1098+2,2932x+0,17x2.
Б) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 3-го порядка W = a0 + a1x + a2x2+ a3x3 0 ≤ x ≤ 10 .
Составим матрицу коэффициентов:
x x2 x3
1 0 0 0
18,1
1 1 1 1
25,3
1 2 4 8
29,4
1 3 9 27
28,5
1 4 16 64
W = 32
1 5 25 125
36,5
1 6 36 216
47,6
1 7 49 343
45,2
1 8 64 512
39,9
1 9 81 729
56
1 10 100 1000
65,3
Рассчитаем следующие матрицы:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
11 55 385 3025
55 385 3025 25333
385 3025 25333 220825
3025 25333 220825 1978405
0,7902 -0,5536 0,1049 -0,0058
-0,5536 0,6553 -0,1505 0,0093
0,1049 -0,1505 0,0376 -0,0024
-0,0058 0,0093 -0,0024 0,0002
423,8
18,3245
2558,3
6,7187
19371,9
-0,9905
159978,5
0,0774
Таким образом, параметры модели равны A=18,32456,7187-0,99050,0774, а одномерное уравнение 3-го порядка выглядит следующим образом W=18,3245+6,7187x-0,9905x2+0,0774x3.
Поскольку величина W имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией М() = 0, 𝜎2() = 1, то можно применять критерий Фишера для проверки адекватности моделей.
Для проверки гипотезы об адекватности модели используется вычисляется расчетное значение:
Fрасч=Sад2S{w}2,
где Sад2=i=1N(Wi-Wi)2N-(m+1)– дисперсия адекватности,
S2{w}=i=1N(Wi-W)2N-1 – общая дисперсия (воспроизводимости),
m – число объясняющих переменных в уравнении.
Критерий Фишера сравнивается с табличным, который определяется по таблице распределения Фишера для числа степеней свободы f1=N-(m+1), соответствующее числителю, и f2=N-1, соответствующее дисперсии воспроизводимости, при уровне значимости α