Пространственная система произвольно расположенных сил
Плита весом P =3 кН со сторонами AB = 3a, BC = 2a закреплена в точке А сферическим, а в точке В цилиндрическим шарниром и удерживается в равновесии невесомым стержнем CC’ (Рис. 1 – 6). На плиту действует пара сил с моментом M =5 кН · м, лежащая в плоскости плиты, и две силы (F1 = 4 кН, H и F2 = 6 кН, D). Точки приложения сил D, E, H находятся на серединах сторон плиты, a = 0.8 м.
Определить реакции связей (опорные реакции) в точках А, В и С.
Ответ
RA=5,74 кН, RB=3,72 кН, RC=1,27 кН.
Решение
Рассмотрим равновесие рамы. На нее действуют заданные силы
P, F1, F2 и пара сил с моментом M.
Отбрасываем связи. Действие связей заменяем силами реакции связей. В точке А сферический шарнир. Неизвестную силу реакции связи RA раскладываем на составляющие, параллельные осям координат.RA=XA+YA+ZA.
В точке В цилиндрический шарнир. Неизвестную силу реакции связи раскладываем на составляющие, параллельные осям координат и лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира
.
RB=YB+ZB. В точке С реакция связи RC направлена вдоль оси стержня CC’ (рис. 8).
Силы F2 и RC раскладываем на составляющие, параллельные осям координат.
F2=F2x+F2z;RC=RCy+RCz
F2x=F2·sinα2=6·sin30°=3 кН;
F2z=F2·cosα2=6·cos30°=5,196 кН;
RCy=RC·cos60°=0,5RC;
RCz=RC·sin60°=0,866RC⇒ RCz=0,5RC0,866RC=0,577RCy.
Записываем условия равновесия пространственной системы сил.
Fix=0;-XA-RBx-F2x=0; (1)
Fiy=0;YA-RCy=0; (2)
Fiz=0;ZA+RBz+F2z+RCz-P=0; (3)
MxFi=0;-P·1,5a+RBz·3a+F2z·3a+RCz·3a=0; (4)
MyFi=0;-P·a+F2z·a+RCz·2a=0; (5)
MzFi=0;M-F1·1,5a+RBx·3a+F2x·3a+RCy·2a=0; (6)
Решаем систему из 6-ти линейных алгебраических уравнений.
Из уравнения (5):
RCz=P·a-F2z·a2a=3·0,8-5,196·0,82·0,8=-1,098 кН;
Из уравнения (4):
RBz=P·1,5a-F2z·3a-RCz·3a3a=3·1,5·0,8-5,196·3·0,8+1,098·3·0,83·0,8=-2,598 кН
Из уравнения (3):
ZA=-RBz-F2z-RCz+P=2,598-5,196+1,098+3=1,5 кН
Из уравнения (2):
YA=RCy=0,577RCz=-0,634 кН
Из уравнения (6):
RBx=-M+F1·1,5a-F2x·3a-RCy·2a3a=-5+4·1,5·0,8-3·3·0,8+0,634·2·0,83·0,8=-2,66 кН
Из уравнения (1):
XA=-RBx-F2x=2,66+3=5,66 кН.
Определяем численное значение реакций:
RA=XA2+YA2+ZA2=5,662+0,6342+1,52=5,74 кН
RB=RBx2+RBz2=2,662+2,5982=3,72 кН
RC=RCy2+RCz2=0,6342+1,0982=1,27 кН
Ответ: RA=5,74 кН, RB=3,72 кН, RC=1,27 кН.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
