Пролетая со скоростью ϑ1=0 1c мимо первого астероида

Плотность вещества равна отношению массы покоя тела к его объему. Значит, собственная плотность астероида, измеренная в системе отсчёта, в которой он покоится, равна
ρ'=mV'
Когда измерения производят зондом, астероид движется по отношению к нему, и следовательно, его продольные размеры сокращаются.
Пусть движение происходит вдоль оси Х. Если собственный продольный размер тела равен x', то в подвижной системе отсчёта этот размер становится короче:
x=x'1-ϑ2c2
Поперечные размеры не изменяются:
y=y', z=z'
Если бы астероид имел прямоугольную форму, то его объём был бы равен
V'=x'y'z'
Тогда легко увидеть, что
V=V'1-ϑ2c2
У астероида сложная форма . Выведем для него формулу пересчёта. Чтобы найти его объём, мысленно поделим его на бесконечно маленькие кубики и просуммируем их объём. Эта процедура сводится к вычислению тройного интеграла. В системе отсчёта, где астероид покоится, его объём равен
V'=dx'dy'dz'
Перейдём в систему отсчёта, связанную с зондом