Произведена выборка результатов измерений случайной величины X

Перейдем к условным вариантам: ui=xi-Ch. Примем за ложный нуль C=160 (значение в середине ряда), h=10 (шаг) и получим условный вариационный ряд:
ui
ni
-3 3
-2 7
-1 10
0 40
1 20
2 12
3 8
Вычислим суммы вида uini и ui2ni методом произведений. Вычисления представим в виде таблицы.
ui
ni
uini
ui2ni
-3 3 -9 27
-2 7 -14 28
-1 10 -10 10
0 40 0 0
1 20 20 20
2 12 24 48
3 8 24 72
∑ 100 35 205
Найдем выборочное среднее, выборочную дисперсию:
u=1ni=17uini=35100=0,35;s2u=1ni=17ui2ni-ui2=205100-0,352≈1,93.
Переходим к искомым величинам для истинных вариант.
1) выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации:
x=hui+C=10∙0,35+160=163,5;
s2=h2∙s2u=100∙1,93=193⇒σ=193≈13,88.
Коэффициент вариации:
v=sx∙100%=13,88163,5∙100%=8,5%;
2) найдем асимметрию и эксцесс:
xi
ni
xi-x3
xi-x3ni
xi-x4ni
130 3 -37595,375 -112786,125 1259445,06
140 7 -12977,875 -90845,125 304980,063
150 10 -2460,375 -24603,75 33215,0625
160 40 -42,875 -1715 150,0625
170 20 274,625 5492,5 1785,0625
180 12 4492,125 53905,5 74120,0625
190 8 18609,625 148877 493155,063
∑ 100   -21675 2166850,44
As=1ni=17xi-x3niσ3=-2167510013,883≈-0,08;
E=1ni=17xi-x4nis4-3=2166850,441001932-3≈-2,42.
3) запишем аналитически и построим графически эмпирическую функцию распределения F*(x):
xi
ni100
F*(x)
130 0,03 0,03
140 0,07 0,1
150 0,1 0,2
160 0,4 0,6
170 0,2 0,8
180 0,12 0,92
190 0,08 1
F*x=0,03;x∈130;1400,1;x∈140;1500,2;x∈150;1600,6;x∈160;170.0,8;x∈170;1800,92;x∈180;1901;при x≥190
Построим график функции распределения
xi
ni
(125;135) 3
(135;145) 7
(145;155) 10
(155;165) 40
(165;175) 20
(175;185) 12
4) построим дискретный и интервальный вариационные ряды:
xi
ni
130 3
140 7
150 10
160 40
170 20
180 12

Дискретный ряд:

Интервальный ряд:
5) Найдем моду и медиану по дискретному ряду:
- мода – значение с наибольшей частотой, Mo=160 .
- медиана – значение в середине ряда, Me=160.
Для данной выборки мода и медиана равны.
Найдем моду и медиану по интервальному вариационному ряду:
Mo=x0+hn2-n1n2-n1+n2-n3,где
x0=155 – начало модального интервала;
h=10 – величина интервала;
n1=10 – частота, соответствующая модальному интервалу;
n2=40 – предмодальная частота;
n3=20 – послемодальная частота.
Mo=155+10∙40-1040-10+40-20=161.Me=x0+hnmen2-Sme-1,где
nme=40- частота, соответствующая медианному интервалу;
n=100;
Sme-1=20- накопленные частоты.
Me=155+1040∙1002-20=162,5.
6) найти теоретические частоты и установить по критерию согласия Пирсона при уровне значимости a= 0,05, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами и теоретическими частотами, которые вычислены из предположения, что генеральная совокупность распределена нормально.
Интервалы группировки ni
x1=
=xi-xS
x2=
=xi+1-xS
pi=
=Ф(x2)- Ф(x1) n*i=npi
ni-n*i2n*i
(125;135) 3 -2,774 -2,053 0,017 2 0,942
(135;145) 7 -2,053 -1,333 0,071 7 0,002
(145;155) 10 -1,333 -0,612 0,179 18 3,476
(155;165) 40 -0,612 0,108 0,273 27 5,921
(165;175) 20 0,108 0,829 0,253 25 1,121
(175;185) 12 0,829 1,549 0,143 14 0,370
∑ 11,832
Критерий Пирсона:
Kнабл=ni-n*i2n*i=11,832.
Kкрk-r-1;α=Kкр6-2-1;0,05=Kкр3;0,05=7,8,
где k- число интервалов, r=2- количество параметров (S и x).
Так как Kнабл>Kкр, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу