Проанализировать произвольный цикл, который состоит из последовательно осуществляемых термодинамических процессов

Изобразим схематично на P-v - диаграмме заданный термодинамический цикл, состоящий из изобарного (1-2, P=C), адиабатного (2-3, S=const), изохорного (3-4, V = const) и изотермического (4-1, Т=const) термодинамических процессов (рис.1).
Рис.1. Схема процесса в P-v диаграмме
Рассчитаем значения термодинамических параметров для основных точек цикла с учетом заданных исходных данных.
Процесс 1-2
Для этого процесса известно: Р1 = 2,0 МПа; Т1 = 473 К; Т2 = 623 К
Определяем значения параметров Р2, v1, v2
Так как процесс 1-2 изобарный, то есть протекает при постоянном давлении, то Р2= Р1 = 2,0 МПа.
Значения удельных объемов в т. 1 и 2 могут быть найдены из уравнения состояния для идеального газа
PV=RT,
где R – удельная газовая постоянная, равная для воздуха 0.287 кДж/(кг К).
Из уравнения состояния находим значения удельных объемов для т. 1 и 2 цикла
V1=RT1P1,
V1=287*4732*106=0,0682 м3/кг
V2=287*6232*106=0,0894 м3/кг
Процесс 2-3
Для этого процесса известны Р2= 2,0 МПа; V2 = 0,0894 м3/кг, найденное при рассмотрении процесса 1-2, V3 = 0,12 м3/кг; Т2 = 623 К
Так как процесс 2-3 по условиям задания – адиабатный, то для него справедливо уравнение PVk=const, где k – показатель адиабаты.
Для определения значения теплоемкости в данном процессе при постоянном объеме используем уравнение Майера: Ср - Сv = R.
Так как по условиям задания Ср = 1,025 кДж/(кг К), а R = 0,287 кДж/(кг К), то
Сv = Ср - R
Сv = 1,025 – 0,287 = 0,738 кДж/(кг К)
Показатель адиабаты равен отношению теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме, т. е.
k= CpCv
k= 1,0250,738=1,39
Из уравнения адиабаты следует, что
P2P3=V3V2k,
откуда находим значение давления в т. 3 цикла
P3=P2V3V21k,
P3=2,00,120,08941k=1,328 МПа.
Связь между температурой и удельным объемом в адиабатном процессе выражается соотношением
T2T3=V3V2k-1,
Откуда находим значение температуры в т. 3 цикла
T3=6230,120,08941,39-1=554,4 K.
Процесс 3-4
Так как процесс 3-4 по условиям задания – изохорный, то V3=V4=0,12 м3/кг, а при постоянном давлении газа изменяется прямо пропорционально абсолютной температуре, т. е. в данном случае
P3P4=T3T4,
Из этого соотношения определяем значение давления в т. 4
P4=P3*T4T3
P4=1,328*473554,4=1,133 МПа.
Процесс 4-1
Процесс 4-1 по условиям задания – изотермический, а при объеме газа изменяется обратно пропорционально его абсолютному давлению (закон Бойля-Мариотта), т. е.
V1V4=P4P1
откуда можно найти значение абсолютного давления в т. 4 цикла
P4=V1*P1V4
P4=0,0682*2,00,12=1,133 МПа.
Тогда
T4=T3*P4P3= 554,4*1,1331,328=473 K
Рассмотрение процесса 4-1 позволило в данном случае проконтролировать правильность ранее найденных значений Р4 и Т4.
Таким образом, основные термодинамические параметры в основных точках цикла определены.
Результаты расчетов основных параметров состояния в характерных точках цикла сводим в таблицу 1.
Таблица 1.
Значения основных термодинамических параметров в основных точках цикла
Точки цикла Параметры в основных точках цикла
Р, МПа Т, К V, м3/кг
1 2,0 473 0,0682
2 2,0 623 0,0894
3 1,328 554,4 0,12
4 1,133 473 0,12
2. Для каждого из термодинамических процессов (в соответствии с заданием) аналитическим путем определяем значения показателей политропы n, теплоемкости c, изменение удельной внутренней энергии u, удельной энтальпии i, удельной энтропии ∆s, удельную теплоту процесса q, удельную работу l.
1-2: политропный процесс
Значение показателя политропы в любом политропном процессе можноопределить по координатам двух любых точек графика процесса
n= lg⁡(P1P2)lg⁡(V1V2)
n-1= lg⁡(T2T1)lg⁡(V1V2)
Отсюда
n-1n= lg⁡(T2T1)lg⁡(P2P1)
Так как процесс 1-2 – изобарный (P2 = P1 = const), то lgP2P1=lg1=0 и, следовательно, n = 0 .
Удельное значение теплоемкости в политропном процессе можно определить из формулы
n=Cn-CpCn-Cv
Откуда Cn=Cvn-kn-1
Исходя из этой формулы, определяем значения удельной теплоемкости для частных случаев политропного процесса.
Для изобарного процесса n = 0, следовательно,
Cv=kCv= Cp=1,025 кДж/(кг К)
Изменение удельной внутренней энергии в процессе 1-2
ΔU= U2-U1=Cv(T2-T1)
ΔU1-2= 0,738*623-473=110,7кДжкг
Основное уравнение первого закона термодинамики для случая, когда
P=const (dP = 0)
dq= CpdT=di
Следовательно, удельное количество теплоты, сообщаемое рабочему телу в изобарном процессе при постоянной теплоемкости
q1-2=T1T2CpdT= Cp(T2-T1)= Δi= i2-i1
Подставив числовые значения величин в данное уравнение, получим
q1-2=1,025*623-473=153,75кДжкг.
Для обратимого изобарного процесса при постоянной теплоемкости изменение удельной энтропии находим по уравнению
s2-s1=Δs1-2=CplnT2T1-RlnP2P1
но при P = const ln(P1/P2) = ln1 = 0? поэтому
Δs1-2=CplnT2T1=CplnV2V1
Для процесса 1-2
Δs1-2=1,025ln623473=1,025ln0,08940,0682=0,282 кДж/(кг К)
При расширении газа в изобарном процессе его температура возрастет, при сжатии – уменьшается. При этом удельная работа изменения объема выражается следующим уравнением
l=PV1V2dV= P(V1-V2)
или
l=R(T2-T1)
Удельная располагаемая (внешняя) работа равна нулю, так как dP = 0
l'=-12VdP= 0
Следовательно, для процесса 1-2
l=2,0*1030,0894-0,0682= 42,4 кДжд/кг
2-3: адиабатный процесс
Для обратимого адиабатного процесса s2 = s3 = const, т. е. обратимый адиабатный процесс одновременно является изоэнтропным.
Для процесса 2-3 определяем показатель политропы
n= lgP2P3lgv3v2
n= lg2,01,328lg0,120,0894=1,39
В адиабатном процессе n = k, поэтому Сn = 0.
Согласно первому закону термодинамики удельная работа изменения объема в адиабатном процессе совершается за счет убыли удельной внутренней энергии рабочего тела: dl = -dU. При Cv = const
ΔU= U3-U2=Cv(T3-T2)
ΔU2-3= 0,738*554,4-623= -50,63кДжкг.
Следовательно, l = -U = 50,63 кДж/кг.
Удельная располагаемая (внешняя) работа в адиабатном процессе 2-3
l'=k*l,
l'=1,39*50,63=70,37кДжкг.
Изменение энтальпии в процессе 2-3 определяем по формуле, справедливой для всех термодинамических провесов при постоянной теплоемкости
∆i2-3= i3- i2= CpT2-T3=1,025*554,4-623= 70,315 кДж/кг
3-4: изохорный процесс
n = , так как v3 = v4, а Сv = Сn = 0,738 кДж/(кг К).
Количество теплоты, участвующей в процессе при постоянной теплоемкости, равно изменению внутренней энергии, т. е. в изохорном процессе вся внешняя теплота расходуется только на изменение внутренней энергии рабочего тела. Так как в процессе 3-4 давление понижается, то удельное количество теплоты отводится, при этом уменьшаются внутренняя энергия и температура газа
q3-4=T3T4CvdT= Cv(T4-T3)= ΔU,
q3-4= ΔU=0,738*473-554,4= -60,07кДжкг.
Изменение удельной энтропии в обратимом изохорном процессе определяется из уравнения
s4-s3=Δs3-4=CvlnT4T3+RlnV4V3
но при V = const lnV4V3=0, поэтому
s4-s3=Δs3-4=CvlnT4T3=RlnP4P3
s4-s3=Δs3-4=0,738*ln473554,4=0,287*ln1,1331,328= -0,0455 кДж/(кг К)
Изменение энтальпии в процессе 3-4
∆i3-4= i4- i3= CpT4-T3=1,025*473-554,4= -83,435 кДж/кг
Внешняя работа газа в процессе 3-4 при v = const равна нулю, так как dv = 0, следовательно,
l=V3V4PdV= 0
Удельная располагаемая (внешняя) работа определяется по формуле
l'=-V3V4VdP= -VP4-P3,
l'=-0,12*1,133-1,328*103=23,4кДжкг.
4-1: изотермический процесс
Для изотермического процесса основное уравнение первого закона термодинамики принимает вид dq = dl и q4-1= l4-1