Привести дифференциальное уравнение к каноническому виду

A=tg2x ;B=-2ytgx2=-ytgx;C=y2
Т.к. B2-AC=0, то наше уравнение – параболического типа.
Приведем уравнение к каноническому виду в области tgx≠0,y≠0 (в области tgx=0 или y=0 сразу получаем канонический вид уравнения).
Записываем уравнение характеристик:
tg2x(dy)2+2ytgxdxdy+y2dx2=0
tg2xdydx2+2ytgxdydx+y2=0
tgxdydx+y2=0 tgxdydx=-y
Решаем полученное дифференциальное уравнение:
dyy=-dxtgx
Интегрируем:
dyy=-cosxsinxdx
lny=-lnsinx+lnc
lnc=lny+lnsinx
ysinx=C
Имеем только одну группу характеристик α=ysinx
Функцию β выбираем произвольно, например, β=x, проверяя обязательно условие, что якобиан перехода отличен от нуля:
Jx,y=αxαyβxβy=αxβy-αyβx=-sinx≠0
Находим производные:
∂α∂x=ycosx; ∂α∂y=sinx ;∂2α∂x2=-ysinx;∂2α∂y2=0;∂2α∂x∂y=cosx∂β∂x=1; ∂β∂y=0;∂2β∂x2=∂2β∂y2=∂2β∂x∂y=0
Учитывая это, имеем:
∂u∂x=uααx+uββx=ycosxuα+uβ
∂u∂y=uααy+uββy=sinxuα
∂2u∂x2=∂ux∂α∂α∂x+∂ux∂β∂β∂x=
=∂2u∂α2∙∂α∂x2+2∂2u∂α∂β∙∂α∂x∙∂β∂x+∂2u∂β2∙∂β∂x2+∂u∂α∙∂2α∂x2+∂u∂β∙∂2β∂x2
=y2cos2xuαα+2ycosxuαβ+uββ-ysinxuα
∂2u∂x∂y=∂ux∂α∂α∂y+∂ux∂β∂β∂y=
=∂2u∂α2∙∂α∂x∙∂α∂y+∂2u∂α∂β∂α∂x∙∂β∂y+∂α∂y∙∂β∂x+∂2u∂β2∙∂β∂x∙∂β∂y+∂u∂α∙∂2α∂x∂y+∂u∂β∙∂2β∂x∂y
=ycosxsinxuαα+sinxuαβ-ysinxuα
∂2u∂y2=∂uy∂α∂α∂y+∂uy∂β∂β∂y=
=∂2u∂α2∙∂α∂y2+2∂2u∂α∂β∙∂α∂y∙∂β∂y+∂2u∂β2∙∂β∂y2+∂u∂α∙∂2α∂y2+∂u∂β∙∂2β∂y2=sin2xuαα
Подставляем найденные производные в первоначальное уравнение:
tg2xy2cos2xuαα+2ycosxuαβ+uββ-ysinxuα-
-2ytgxycosxsinxuαα+sinxuαβ-ysinxuα+y2sin2xuαα+
+tg3xycosxuα+uβ=0
Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем:
tg2xuββ+2y2sinxtgxuα+tg3xuβ=0
Или, приводя к каноническому виду:
uββ=-2y2cosxuα-tgxuβ