Приведите решение следующих задач. Функция полезности потребителя задана как u = 31x11/8x27/8

Определим оптимум потребителя до снижения цены. Условие оптимума:
MU1MU2=P1P2P1x1+ P2x2=I↔31*18*x1-78 x27831*78*x2-18 x118=5010050x1+100x2=1000↔ x27x1=12x1+2x2=20↔x1=2,5x2=8,75
Полезность потребителя при этом будет равна U1 = 31*2,51/88,757/8 ~ 231,9.
Определим оптимум потребителя после снижения цены. Условие оптимума:
MU1MU2=P1`P2P1`x1+ P2x2=I↔31*18*x1-78 x27831*78*x2-18 x118=2510025x1+100x2=1000↔ x27x1=14x1+4x2=40↔x1=5x2=8,75
Полезность потребителя при этом будет равна U2 = 31*51/88,757/8 ~ 252,9.
а) Для разложения изменения спроса на эффекты замещения и дохода по Хиксу найдем параметры промежуточной точки, в которой достигается оптимум при прежнем уровне полезности U3 = U1 = 231,9 при новом соотношении цен:
31x11/8x27/8=231,9MU1MU2=P1`P2↔x118(1,75x1)7/8=7,48x2=1,75x1↔x1=4,6x2=8,05
Таким образом, эффект замещения по Хиксу для первого блага будет равен:
4,6 – 2,5 = 2,1.
Эффект дохода по Хиксу для первого блага будет равен:
5 – 4,6 = 0,4.
1543051527810x2
00x2
Отобразим эффекты дохода и замещения по Хиксу на графике. Вспомогательная бюджетная линия БЛ3 соответствует бюджету 4,6*25 + 8,05*100 = 920 и описываться уравнением: x2 = 9,2 – 0,25x1. Она касается начальной кривой безразличия U1 в точке промежуточного оптимума 3. Точка начального оптимума 1 является точкой касания начальной кривой безразличия U1 и начальной бюджетной линии БЛ1, точка конечного оптимума 2 – касания конечной кривой безразличия U2 и бюджетной линии БЛ2.
43357803160395БЛ1
00БЛ1
54679853865245x1
00x1
17240253360420ЭДх=0,4
00ЭДх=0,4
94678538023803600453642360ЭЗх=2,1
00ЭЗх=2,1
138684011423653
003
16306809937752
002
9448809937751
001
1579245357759015259053707130992505393573053968651840230U1=U3
00U1=U3
53949601492885U2
00U2
49834802531745БЛ3
00БЛ3
52349402124075БЛ2
00БЛ2
1525905143637000163068011944359925051192530
Рисунок 1 – Эффект дохода и эффект замещения по Хиксу
б) Для разложения изменения спроса на эффекты замещения и дохода по Слуцкому найдем параметры промежуточной точки, в которой достигается оптимум при бюджете, при котором при новом соотношении цен доступен начальный набор:
P1`x1+ P2x2=P1`*2,5+ P2*8,75MU1MU2=P1`P2↔25x1+100x2=937,5x2=1,75x1↔x1=4,7x2=8,2
Таким образом, эффект замещения по Слуцкому для первого блага будет равен:
4,7 – 2,5 = 2,2.
Эффект дохода по Слуцкому для первого блага будет равен:
5 – 4,7 = 0,3.
Как видим, эффект замещения по Слуцкому больше эффект замещения по Хиксу (2,2>2,1) .
Отобразим эффекты дохода и замещения по Слуцкому на графике. Вспомогательная бюджетная линия БЛ3 описывается уравнением 25x1 + 100x2 = 937,5 или x2 = 9,38 – 0,25x1. Она касается кривой безразличия U3, соответствующей промежуточному набору U3 = 31*4,71/88,27/8 ~ 237,1 в промежуточной точке 3. Точка начального оптимума 1 является точкой касания начальной кривой безразличия U1 и начальной бюджетной линии БЛ1, точка конечного оптимума 2 – касания конечной кривой безразличия U2 и бюджетной линии БЛ2.
161925-102870x2
00x2
94678538214300017240253364230ЭДс=0,3
00ЭДс=0,3
3295653661410ЭЗс=2,2
00ЭЗс=2,2
80010011461751
001
51054002531745БЛ3
00БЛ3
53949601671955U3
00U3
54679853872865x1
00x1
138684011423653
003
16306809937752
002
1579245357759015259053707130992505393573053968651840230U1
00U1
53949601492885U2
00U2
52349402124075БЛ2
00БЛ2
42291003099435БЛ1
00БЛ1
1525905143637000163068011944359925051192530
Рисунок 2 – Эффект дохода и эффект замещения по Слуцкому
1.2