Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Механическая система состоит из ступенчатых шкивов, колес, блоков 1÷5 и грузов 6÷9 (рис.Д2.0÷Д2.9). На рисунках приняты обозначения: Rk–радиус внешней ступени шкива или радиус тела, rk–радиус внутренней ступени шкива, ρk
радиус инерции тела относительно оси вращения. Для тел 1,2,3 заданы радиусы инерции ρ1,ρ2,ρ3 относительно оси вращения, масса тела 4 равномерно распределена по внешнему ободу, тело 5 считать однородным цилиндром. Тела системы соединены друг с другом гибким и невесомым и нерастяжимыми нитями, которые или перекинуты через блоки, или намотаны на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Некоторые тела соединены ременными или фрикционными передачами.
Радиусы тел и радиусы инерции указаны на рис. Д2.0÷Д2.9. Массы тел приведены в табл. Д2. Прочерк в таблице означает, что тело отсутствует и изображать его не надо. Если масса тела равна нулю, то данное тело показывается на рисунке, но его массой при расчетах следует пренебречь.
В некоторый момент времени под действием сил тяжести система приходит в движение из состояния покоя.
При скольжении по плоскостям на грузы действуют силы трения, коэффициент трения скольжения f равен 0,01. Качение всех тел происходит без скольжения; при этом для случая качения тел по неподвижным плоскостям следует учитывать трение качения, коэффициент трения качения δ=1см. Трением в осях вращения пренебречь. Длины нитей и длины участков достаточны для того, чтобы тела при движении не сталкивались друг с другом.
Определить скорость, указанную в табл. Д2 в столбце «Найти», после того как этот груз переместится на расстояние s = 10 м. При этом нужно указать, в какую сторону этот груз движется.
Номерусловия
m1,кг m2,кг m3,кг m4,кг m5,кг m6,кг m7,кг m8,кг m9,кг Найти
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
100
0
80
0
0
80
0
0
200
0
0
150
0
0
0
0
200
0
0
100
0
0
120
0
130
0
0
0
0
0
0
0
0
300
0
0
0
90
0
0
200
120
140
150
200
300
150
120
250
100
300
200
400
–120
–
–
–100
120
–
–120
–
–200
80
150
–
– –90
–130
100
120
–200
150
–
150
–
–70
–
–120
–
–250
V6V8V6V9V6V8V7V8V6V9
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Рассмотрим заданную механическую систему.
Для определения скорости V7 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии
T-T0=Ae+Ai
T и T0- кинетическая энергия в начальном и в конечном положении системы.
Ae-сумма работ внешних сил.
Ai-сумма работ внутренних сил.
Поскольку движение системы начинается из состояния покоя, значит
T0=0
Система не изменяется, значит
Ai=0
Поэтому для рассматриваемой системы теорему можно записать
T=Ae
2. Приложим направления скоростей.
Предположим, что тело 7 перемещается вниз по наклонной плоскости.
Кинетическая энергия системы определяется как сумма кинетических энергий всех тел.
T=T5+T1+T3+T7+T2+T4+T9
Блок 5 совершает поступательное и вращательное движение, поэтому
T5=m5*V522+J5*ω522
J-момент инерции
Для катка 5
J5=12m5*R52
Угловую скорость ω5 выразим через скорость центра масс V5.
ω5=V5R5
Если теперь подставить полученные выражения в формулу кинетической энергии катка 5, то получим
T5=m5*V522+12m5*R52*V522R52
T5=m5*V522+m5*V524=3m5*V524
Подставим значение массы m5
T5=3*150V524=112,5 V52
Шкив 1 совершает вращательное движение, значит
T1=J1*ω122
J1=m1*P12
Поскольку m1=0
T1=0
Шкив 3 совершает вращательное движение, значит
T3=J3*ω322
Поскольку масса m3=0
T3=0
Тело 7 – совершает поступательное движение, значит
T7=m7*V722=80*V722=40 V72
Тело 2 – совершает вращательное движение, значит
T2=J2*ω222
J2=m2*P22=200*1,12=242
T2=242ω222=121 ω22
Тело 4 – совершает вращательное движение
m4=0, значит
T4=0
Тело 9 – совершает поступательное движение, значит
T9=m9*V922=120*V922=60 V92
Таким образом, кинетическая энергия системы:
T=112,5V52+40V72+121ω22+60V92
3
. Поскольку нам необходимо найти скорость тела 7, то выразим все скорости через V7.
Для тела 1 скорость точек внутреннего обода равна скорость тела 7, значит
ω1=V7r1=V70,8=1,25 V7
Линейная скорость точек внешнего обода тела 1
V1внешн.=ω1*R1=1,25V7*1,5=1,875 V7
Для тела 5 скорость наиболее удаленной точки от мгновенного центра скоростей равна линейной скорости точек внешнего обода тела 1, значит
V5=V1внешн.2=1,875 V72=0,9375 V7
Для шкива 2 линейная скорость точек внутреннего обода равна скорость тела 7, значит
ω2=V7r2=V70,7=1,429 V7
Для тела 9: поскольку линейная скорость точек внутреннего обода тела 2 равна линейной скорости точек обода тела 4, значит
V9=V7
Таким образом, кинетическая энергия системы примет вид:
T=112,5(0,9375V7)2+40V72+121(1,429V7)2+60V72
T=445,964 V72
4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
