Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Механическая система состоит из ступенчатых шкивов, колес, блоков и грузов. Для тел 1, 2, 3 заданы радиусы инерции ρ1, ρ2, ρ3 относительно оси вращения, масса тела 4 равномерно распределена по внешнему ободу, тело 5 считать однородным цилиндром. Тела системы соединены друг с другом гибкими невесомыми нерастяжимыми нитями,
которые или перекинуты через блоки, или намотаны на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.
В некоторый момент времени под действием сил тяжести система приходит в движение из состояния покоя. При скольжении по плоскостям на грузы действуют силы трения. Качение всех тел происходит без скольжения, при этом для случая качения тел по неподвижным плоскостям следует учитывать трение качения, коэффициент трения качения задан. Трением в осях вращения пренебречь. Длины нитей и длины участков достаточны для того, чтобы тела при движении не сталкивались друг с другом.
Определить скорость груза 6 после того как этот груз переместится на расстояние s = 10 м, предварительно определив направление движения груза.
m1 = 200 кг;m2 = 0;m3 = 0;m4 = 0
m5 = 250 кг;m6 = 100 кг;m7 = 0;m8 = 150 кг
m9 = 0;f = 0,01;δ = 1 см;S = 10 м
R1 = 1,2 м;r1 = 0,6 м;ρ1 = 0,9 м;R2 = 1,8 м;
r2 = 1 м;R5 = 1,1 м;R3 = 0,8 м;ρ3 = 0,6 м
V6 - ?
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
V6 = 5,49 м/с
Переработать С1, внести исправления в К1
Решение
Изображаем систему в конечном положении, т. е. после того, как груз 6 переместится на расстояние s, предполагая при этом, что груз 6 движется вниз. Показываем также на рисунке скорости центров масс тел и угловые скорости тел, внешние силы: силы тяжести тел, реакции в неподвижных осях вращения, реакции наклонных плоскостей, силы трения скольжения и момент трения качения. Направления реакций в неподвижных осях вращения неизвестно, поэтому их направления выбраны произвольно.
1. Рассмотрим движение данной механической системы. Для определения искомой скорости V6 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.
T – T0 = ∑Ake + ∑Aki, где
Т0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях, ∑Ake ‒ сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное, ∑Aki – сумма работ внутренних сил на том же перемещении.
Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, имеем.
∑Aki = 0,
2. По условию задачи требуется найти скорость тела 6 (V6), следовательно, именно через эту величину будем выражать кинетические энергии всех тел, так как для системы тел с одной степенью свободы, кинетическая энергия есть функция от квадрата скорости.
Выражаем все угловые и линейные скорости через V6 .
Груз 6 движется поступательно, ступенчатый блок 1 вращается относительно неподвижной оси
. Так как скорости всех точек нити, связывающей тела 1 и 6 одинаковы Не было вопросов
был вопрос, проигнорирован
ω1 = V6r1
Скорость всех точек нити, связывающей тела 1 и 2 одинакова
ω2 = ω1R1R2 = R1r1R2 V6
Скорости в точке контакта блока 1 и тела 3 равны
ω3R3 = ω1R1 => ω3 = ω1R1R3 = R1r1R3 V6
Каток 5 совершает плоское движение качение. Точка его касания с поверхностью качения является МЦС тела 5. Скорость центра масс катка 5
V5 = ω2r2 = r2R1r1R2 V6
Угловая скорость катка
ω5 = V5R5 = r2R1r1R2R5 V6
Груз 8 движется поступательно. Скорость груза 8
V8 = ω3R3 = R1R3r1R3 V6 = R1r1 V6
3.Кинетическая энергия системы T вычисляется как сумма кинетических энергий всех тел, входящих в систему
T = T1 + T2 + T3 + T5 + T6 + T8
T2 = 0T3 = 0, так как m2 = 0,m3 = 0
T = T1 + T5 + T6 + T8
Шкив 1 вращается относительно неподвижной оси. Момент инерции тела 1: JC1 = m1ρ12
T1 = 12 JC1ω12 = 12 m1ρ12 V62r12
Цилиндр 5 совершает плоское движение. По условию задачи каток 5–это сплошной однородный цилиндр, поэтому для вычисления момента инерции сплошного однородного цилиндра используется формула:
JC5 = 12 m5R52 был вопрос, проигнорирован У меня затруднения с ответом на вопрос «Ну и что?», но я долил воды
T5 = 12 m5V52 + 12 JC5ω52
С учетом формулы момента инерции сплошного однородного цилиндра выражение кинетической энергии для тела 5 принимает вид
= 12 m5 (r2R1r1R2)2 V62 + 12 ∙ 12 m5R52 (r2R1r1R2R5)2 V62 =
= 34 m5 (r2R1r1R2)2 V62
Грузы 6 и 8 движутся поступательно
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
