При исследовании влажности зерна произведена 5% случайная выборка, которая дала следующие данные одинаковых по весу проб в процентах:
16.4 15.3 15.6 16.6 14.9 15.0 15.6 15.2 15.0 16.2 15.8 16.0
16.0 16.5 16.3 15.6 15.7 16.1 16.2 15.9 15.7 15.3 15.9 15.3
Построить интервальный ряд, разбив данные на 5 групп.
Вычислить показатели центра распределения, показатели вариации, показатели формы распределения. Изобразить ряд графически. Сделать выводы.
Определить для генеральной совокупности с вероятностью 0.997 среднюю влажность; с вероятностью 0.954 долю проб с влажностью менее 15 %.
Решение
Ширина интервала
h=xmax-xminn=6,6-4,95=0,34%
Получаем такие группы:
1 группа4,9–5,24
2 группа5,24–5,58
3 группа5,58–5,92
4 группа5,92–6,26
5 группа6,26–6,6
Разместим исходные данные в порядке возрастания. Выделим соответствующее число проб:
№ п/п Влажность зерна, %
1 4,9
2 5,0
3 5,0
4 5,2
четыре
5 5,3
6 5,3
7 5,3
три
8 5,6
9 5,6
10 5,6
11 5,7
12 5,7
13 5,8
14 5,9
15 5,9
восемь
61 6,0
17 6,0
18 6,1
19 6,2
20 6,2
пять
21 6,3
22 6,4
23 6,5
24 6,6
Четыре
Интервальный ряд распределения проб зерна по влажности
№ группы Группы проб зерна по влажности, % Число проб В % к итогу
1 4,9–5,24 4 16,7
2 5,24–5,58 3 12,5
3 5,58–5,92 8 33,3
4 5,92–6,26 5 20,8
5 6,26–6,6 4 16,7
Итого - 24 100,0
Средняя влажность зерна по группам:
х1 = 4,9+5,242 =5,07
х2 =5,24+5,582= 5,41
х3 = 5,58+5,922 =5,75
х4 = 5,92+6,262 =6,09
х5 = 6,26+6,62 =6,43
Средняя влажность по совокупности (средняя арифметическая взвешенная):
x=xififi
x=5,07∙4+5,41∙3+5,75∙8+6,09∙5+6,43∙424=138,6824=5,8%
Мода
Mо=хMo+hМ0fMo-fMo-1(fMo-fMo-1)+(fMo-fMo+1)
где хМo – нижняя граница модального интервала;
hМ0– величина модального интервала;
fMo – частота модального интервала;
fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Модальный интервал определяем по наибольшей частоте fi
f3 = 8Модальный интервал:
5,58–5,92
Mо=5,58+0,34∙8-38-3+8-5=5,79≈5,8%
Медиана
Ме=хМе+h1/2fi-SМе-1fMe
где хМе– нижняя граница медианного интервала;
h – величина медианного интервала;
fi– сумма всех частот;
fМе – частота медианного интервала;
SMе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.
Медианный интервал – интервал, в котором накопленная частота впервые превышает половину суммы всех частот или равняться ей (24/2 = 12).
№ группы Группы проб зерна по влажности, % Число проб
fi Накопленная частота
Si
1 4,9–5,24 4 4
2 5,24–5,58 3 7
3 5,58–5,92 8 15
4 5,92–6,26 5 20
5 6,26–6,6 4 24
Итого - 24 -
4<12
4+3 = 77<12
7+8 = 1515>12 в этом интервале накопленная частота больше 12.
Медианный интервал5,58–5,92
Me=5,58+0,34⋅0,5⋅24-78=5,8%
Показатели вариации
- размах вариации
R = xmax-xmin=6,6-4,9=1,7%
Для определения остальных показателей вариации сформируем таблицу:
Влажность зерна, % (xi) Число проб
(fi) хi-х2 fi xi-xfi
5,07 4 (5,07-5,8)2 ·4 = 2,1316 5,07-5,8∙4=2,92
5,41 3 (5,41-5,8)2 ·3 = 0,4563 5,41-5,8∙3=1,17
5,75 8 (5,75-5,8)2 ·8 = 0,02 5,75-5,8∙8=0,4
6,09 5 (6,09-5,8)2 ·5 = 0,4205 6,09-5,8∙5=145
6,43 4 (6,43-5,8)2 ·4 = 1,5876 6,43-5,8∙4=2,52
Итого 24 4,616 8,46
- среднее линейное отклонение
l=xi-xfifi=8,4624=0,35%
- дисперсия
σ2=1jхi-х2fifi=4,61624=0,192
- среднее квадратическое отклонение:
σ=σ2=0,192=0,44%
- коэффициент осцилляции
VR=Rx=1,75,8=0,293 или 29,3%
- коэффициент вариации линейный
Vl= lx=0,355,8=0,06 или 6%
- коэффициент вариации квадратический:
Vσ=σx=0,445,8=0,076 или 7,6%
Показатели формы распределения
Коэффициент асимметрии:
As= x-Моσ=5,8-5,790,44=0,023
As>0
Эксцесс
Ех= M4σ4-3=0,0780,444-3=0,0780,0375 -3=2,08-3=-0,92
M4=xi-x4fifi=1,8708653624=0,078
Влажность зерна, % (xi) Число проб
(fi) хi-х4 fi
5,07 4 (5,07-5,8)4 ·4 = 1,13592964
5,41 3 (5,41-5,8)4 ·3 = 0,06940323
5,75 8 (5,75-5,8)4 ·8 = 0,00005
6,09 5 (6,09-5,8)4 ·5 = 0,03536405
6,43 4 (6,43-5,8)4 ·4 = 0,63011844
Итого 24 1,87086536
Рисунок 1.1 – Гистограмма распределения проб зерна по влажности
Выводы
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
