Предприятие, занимающееся производством медицинских масок, продает их в разных регионах по дифференцированным ценам. В таблице представлены цены на медицинские маски в восьми различных регионах и соответствующее им число продаж:
№ п/п
Объем продаж тыс.шт
Цена руб.
1 420 5,0
2 385 6,5
3 355 6,0
4 405 4,5
5 405 5,0
6 355 5,0
7 430 5,5
8 425 5,0
Решение
1) Постоим поле корреляции (объем продаж в зависимости от цены):
Объем продаж имеет обратную зависимость от цены и зависимость эта близка к линейной.
2) Находим коэффициенты постулируемого уравнения регрессии, а также коэффициенты корреляции и детерминации. Для этого воспользуемся следующими формулами:
ух= а+ bх
b=yx-yxx2-(x)2
a=y-bx
Приведем расчетную таблицу
№ п/п
у х
у
(y-ŷх)2 (y-ycp)2
1 420 5 176400 25 2100 402,63 301,66 506,25
2 385 6,5 148225 42,25 2502,5 378,00 49,00 156,25
3 355 6 126025 36 2130 386,21 974,10 1806,25
4 405 4,5 164025 20,25 1822,5 410,84 34,13 56,25
5 405 5 164025 25 2025 402,63 5,61 56,25
6 355 5 126025 25 1775 402,63 2268,77 1806,25
7 430 5,5 184900 30,25 2365 394,42 1265,86 1056,25
8 425 5 180625 25 2125 402,63 500,35 756,25
Сумма 3180 42,5 1270250 228,75 16845 3180,00 5399,47 6200,00
Среднее 397,50 5,31 158781,25 28,59 2105,63 397,50 674,93 775,00
Определяем ряд характеристик моделируемых рядов:
σх=x2-x2=28.59-5.312=0.61
σy=y2-y2=158781.25-397.502=27.84
x-x2= σх2*n=0.61*0.61*8=2.97
Рассчитаем коэффициенты регрессии:
b=yx-yxx2-x2=2105,63-397,50*6,3128,59-5,312=-16.41
a=y-bx=397.50+16.41*5.31=484.74
Таким образом, регрессионное уравнение имеет следующий вид:
ух = 484,74-16,41x.
Вывод: при росте цены на 1 рубль число продаж медицинских масок сокращается в среднем на 16,41 ≈ 16 шт. Условный объём продаж при нулевой цене равен 485 шт.
3) Построим теоретическую линию регрессии:
Так как эмпирические точки находятся в близи теоретической прямой, то уравнение регрессии хорошо аппроксимирует данные.
4) определим линейный коэффициент корреляции:
rxy=yx-yxσxσy=2105,63-397,50*5,3127,84*0,61=-0,359
Коэффициент корреляции указывает на наличие связи и находится в интервале от -1 до +1. В данном случае его отрицательное значение говорит об обратной связи между ценой на медицинские маски и объемом продаж
. Связь слабая по тесноте т.к. |r| более 0,359.
Рассчитаем коэффициент детерминации:
R2=1- y-yx2y-y2=1-5399.476200.00=0.129
Коэффициент детерминации показывает, что 12.9 % вариации числа продаж медицинских масок объясняется вариацией их цен, а остальные 87.1% - вариацией прочих факторов.
5) На основании данных расчетной таблицы рассчитаем остаточное среднее квадратическое отклонение:
Sост=(y-yх)2n-р-1, где
р- число факторов в модели
Sост=5399,478-1-1=30,00
Определим стандартную ошибку для коэффициента регрессии:
Для определения значимости полученного уравнения регрессии необходимо рассчитать эмпирическую величину F-критерия Фишера:
Fр =R21-R2*n-p-1p=0.1291-0.129*8-1-11=0.59
По таблице F- распределения Снедекора –Фишера при α=0,05 и К1=1, К2=8-2=6 величина Fт=5,99. Это означает, что гипотеза Н0о несущественности связи между у и х с вероятностью ошибочности суждения α=0,05 принимается , то есть связь между этими переменными не может быть признана существенной.
mb=Sост1x-x2=30.00*12.97=17.41
Определим расчетное значение t – критерия Стьюдента:
tb=bmb=-16.4217.41=-0.94
Табличное значение t-критерия Стьюдента α=0,05 и к=8-1-1=6 будет равно tтабл=2,45. Таким образом, коэффициент регрессии оказался незначимым, так как расчетное значение t-критерия по модулю ниже табличного значения.
6) Спрогнозируем число продаж медицинских масок при цене 5,75 рублей за 1 шт.
ухр=484,74-16,42*5,75=390,32
Построим доверительные интервалы для индивидуальной прогнозной величины ухр в точке х* по следующим формулам:
yхр-dy≤ухр≤yхр+dy, где
dy=tтабл*Sост*1+h, где
h=1n+x*-x2x-x2=18+5,75-5,5122,97=0.19
Тогда:
dy=2,45*30,00*1+0,19=80,16
390,32-80,16≤ухр≤390,32+80,16
310,16≤ухр≤470,47
Следовательно, с 95% уверенностью можно утверждать, что число продаж медицинских масок предприятием при цене 5,75 рублей за 1 шт., находится в пределах от 310 до 471 шт
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
