Предприятие выпускает три вида крепежных изделий: гайки, болты и шайбы. Норма расхода сырья, времени работы оборудования и затрат на электроэнергию, которые необходимы для производства одной тонны каждого изделия, приведены в таблице (k – номер варианта, см. таблицу выше).
Месячные запасы ресурсов, которыми располагает предприятие, ограничены. По сырью эти ограничения обусловлены емкостью складских помещений, по оборудованию – станочным парком и трудовыми ресурсами, по электроэнергии – техническими и финансовыми причинами. Спрос на шайбы не превосходит 5/18 т, а спрос на гайки не превышает 18 т. Размеры запасов и прибыль от реализации продукции в у.е. за 1 тонну приведены в таблице.
Ресурсы Нормы расхода ресурсов на тонну продукции Ограничения по ресурсам
Шайбы Гайки Болты
Сырье 9 14.4 19.8 336
Оборудование 7.2 10.8 18 286
Электроэнергия 9 12.6 16.2 290
Прибыль (у.е./т) 90 140 200
Требуется сформировать месячную производственную программу (определить объемы выпуска каждого вида продукции), при которой прибыль от реализации будет максимальным. Составить математическую модель данной задачи и решить ее симплекс-методом.
Решение
Канонический вид задачи:
Fx=90x1+140x2+200x3→max
9x1+14,4x2+19,8x3≤3367,2x1+10,8x2+18x3≤2869x1+12,6x2+16,2x3≤290x1≤518x2≤18x1,x2,x3≥0
Решим задачу с помощью, рассмотрения функции Z1(X)=-Z(X), которую следует минимизировать при заданных ограничениях. Соответственно, Z1(X)min=-Zmax и так как система ограничений одна и та же в обоих случаях, то точка оптимума не изменится при переходе от одной задаче к другой.
Fx=-90x1-140x2-200x3→min
9x1+14,4x2+19,8x3≤3367,2x1+10,8x2+18x3≤2869x1+12,6x2+16,2x3≤290x1≤518x2≤18x1,x2,x3≥0
Вводим добавочные неотрицательный элементы x4, x5, x6, x7, x8, получаем:
9x1+14,4x2+19,8x3+x4≤3367,2x1+10,8x2+18x3+x5≤2869x1+12,6x2+16,2x3+x6≤290x1+x7≤518x2+x8≤18x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8≥0
Матрица коэффициентов А=a(ij):
9 14,4 19,8 1 0 0 0 0
7,2 10,8 18 0 1 0 0 0
9 12,6 16,2 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 1
Составим симплекс таблицу:
Базис В Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 X8
Х4 336 9 14,4 19,8 1 0 0 0 0
Х5 286 7,2 10,8 18 0 1 0 0 0
Х6 290 9 12,6 16,2 0 0 1 0 0
Х7 518
1 0 0 0 0 0 1 0
Х8 18 0 1 0 0 0 0 0 1
F(x) 0 90 140 200 0 0 0 0 0
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: Х0=(0;0;0;336;286;290;518;18)
Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находится положительные коэффициент.
В качестве генерального столбца выберем столбец, соответствующий переменной Х3.
Определим генеральную строку и генеральный элемент:
Базис В Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 X8 MIN
Х4 336 9 14,4 19,8 1 0 0 0 0 16,96
Х5 286 7,2 10,8 18 0 1 0 0 0 15,9
Х6 290 9 12,6 16,2 0 0 1 0 0 17,9
Х7 5/18 1 0 0 0 0 0 1 0
Х8 18 0 1 0 0 0 0 0 1
F(x) 0 90 140 200 0 0 0 0 0
Пересчитаем симплекс-таблицу:
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x4 21.4 1.08 2.52 0 1 -1.1 0 0 0
x3 143/9 0.4 0.6 1 0 1/18 0 0 0
x6 32.6 2.52 2.88 0 0 -0.9 1 0 0
x7 5/18 1 0 0 0 0 0 1 0
x8 18 0 1 0 0 0 0 0 1
F(X) -28600/9 10 20 0 0 -100/9 0 0 0
Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находится положительные коэффициент.
Определим новый генеральный элемент:
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 min
x4 21.4 1.08 2.52 0 1 -1.1 0 0 0 8.49
x3 143/9 0.4 0.6 1 0 1/18 0 0 0 26.48
x6 32.6 2.52 2.88 0 0 -0.9 1 0 0 11.32
x7 5/18 1 0 0 0 0 0 1 0 -
x8 18 0 1 0 0 0 0 0 1 18
F(X) -28600/9 10 20 0 0 -100/9 0 0 0
Пересчитаем симплекс-таблицу:
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x2 8.49 0.43 1 0 0.4 -0.44 0 0 0
x3 10.79 0.14 0 1 -0.24 0.32 0 0 0
x6 8.14 1.29 0 0 -1.14 0.36 1 0 0
x7 5/18 1 0 0 0 0 0 1 0
x8 9.51 -0.43 0 0 -0.4 0.44 0 0 1
F(X) -3347.62 1.43 0 0 -7.94 -2.38 0 0 0
Текущий опорный план не оптимален, так как в индексной строке находится положительные коэффициент.
Определим новый генеральный элемент:
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 min
x2 8.49 0.43 1 0 0.4 -0.44 0 0 0 19.81
x3 10.79 0.14 0 1 -0.24 0.32 0 0 0 75.56
x6 8.14 1.29 0 0 -1.14 0.36 1 0 0 6.33
x7 5/18 1 0 0 0 0 0 1 0 5/18
x8 9.51 -0.43 0 0 -0.4 0.44 0 0 1
F(X) -3347.62 1.43 0 0 -7.94 -2.38 0 0 0
Пересчитаем симплекс-таблицу:
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
x2 8.37 0 1 0 0.4 -0.44 0 -0.43 0
x3 10.75 0 0 1 -0.24 0.32 0 -0.14 0
x6 7.79 0 0 0 -1.14 0.36 1 -1.29 0
x1 5/18 1 0 0 0 0 0 1 0
x8 9.63 0 0 0 -0.4 0.44 0 0.43 1
F(X) -3348.02 0 0 0 -7.94 -2.38 0 -1.43 0
Текущий опорный план оптимален, так как в индексной строке находится все отрицательный коэффициент
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
