Предприятие выпускает два вида крепежных изделий: гайки и шайбы. Норма расхода сырья, времени работы оборудования и затрат на электроэнергию, которые необходимы для производства одной тонны каждого изделия, приведены в таблице.
Месячные запасы ресурсов, которыми располагает предприятие, ограничены. По сырью эти ограничения обусловлены емкостью складских помещений, по оборудованию – станочным парком и трудовыми ресурсами, по электроэнергии – техническими и финансовыми причинами. Размеры запасов и прибыль от реализации продукции в у.е. за 1 тонну приведены в таблице.
Ресурсы Нормы расходов ресурсов на тонну продукции Ограничения по ресурсам
Шайбы Гайки
Сырье 0,52 0,82 322
Оборудование 0,42 0,62 272
Электроэнергия 0,52 0,72 252
Прибыль (у.е./т.) 90 140
Требуется сформировать месячную производственную программу (определить объемы выпуска каждого вида продукции), при которой прибыль от реализации будет максимальной.
Составить математическую модель данной задачи и решить ее двумя способами:
А). графическим методом;
Б). с использованием надстройки «Поиск решения» MS Excel.
Решение
Для формализации задачи обозначим через x1, x2, искомую производственную программу – объемы выпуска шайб и гаек (тонн). Тогда, доход от реализации будет равен:
Z=90*x1+140*x2
Производственная программа x1, x2, может быть реализована только при выполнении следующих условий (ограничений):
0,52*x1+0,82*x2 ≤322
0,42*x1+0,62*x2 ≤272
0,52*x1+0,72*x2 ≤252
При этом переменные x1, x2 должны быть неотрицательны:
x1 ≥0, x2 ≥0
Получаем задачу линейного программирования: необходимо максимизировать целевую функцию – доход от реализации продукции Z– при условии, что на переменные x1, x2 наложены перечисленные ограничения.
А) Решим задачу графическим методом
Построим область допустимых решений задачи. По условию задачи x1 ≥0, x2 ≥0, т.е. мы рассматриваем только точки, принадлежащие первой четверти.
Рассмотрим первое неравенство системы ограничений:
0,52*x1+0,82*x2 ≤322
Построим прямую 0,52*x1+0,82*x2=322. Запишем для данной прямой уравнение в отрезках:
0,52*x1322+0,82*x2322=1
x1619,23+x2392,68=1
Прямая проходит через точки А (0; 392,68) и В (619,23;0).
Теперь нужно выбрать одну из двух полуплоскостей, на которые прямая разделила плоскость, и заштриховать эту полуплоскость
. Чтобы правильно выбрать, возьмем точку плоскости, не лежащую на прямой, и подставим ее в неравенство. Например, точка (1; 0) не лежит на прямой:
0,52*1+0,82*0 ≤322
Неравенство верное, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой AB.
Рассмотрим второе неравенство системы ограничений:
0,42*x1+0,62*x2 ≤272
Построим прямую 0,42*x1+0,62*x2=272. Запишем для данной прямой уравнение в отрезках:
0,42*x1272+0,62*x2272=1
x1647,62+x2438,71=1
Прямая проходит через точки C (0; 438,71) и D (647,62;0).
Теперь нужно выбрать одну из двух полуплоскостей, на которые прямая разделила плоскость, и заштриховать эту полуплоскость. Чтобы правильно выбрать, возьмем точку плоскости, не лежащую на прямой, и подставим ее в неравенство. Например, точка (1; 0) не лежит на прямой:
0,42*1+0,62*0 ≤272
Неравенство верное, следовательно, нас интересуют точки лежащие ниже построенной нами прямой CD.
Рассмотрим третье неравенство системы ограничений:
0,52*x1+0,72*x2 ≤252
Построим прямую 0,52*x1+0,72*x2=252. Запишем для данной прямой уравнение в отрезках:
0,52*x1252+0,72*x2252=1
x1484,62+x2350,00=1
Прямая проходит через точки E (0; 350,00) и F (484,62;0).
Теперь нужно выбрать одну из двух полуплоскостей, на которые прямая разделила плоскость, и заштриховать эту полуплоскость
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
