Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимыми для производства

Построим первую симплекс-таблицу и найдем ее ведущий элемент
Построим экономико-математическую модель задачи.
Пусть x1 – количество первого товара, ед.; x2 – количество второго товара, ед.; x3 – количество третьего товара, ед.; x4 – количество четвертого товара, ед.
Целевая функция – суммарная прибыль от реализации товара (ден. ед.):
Fx=30x1+28x2+26x3+32x4→max
при ограничениях на ресурсы:
Сырье (кг)
6x1+5x2+4x3+2x4≤60;
Рабочая сила (чел-ч)
22x1+20x2+18x3+24x4≤600;
Оборудование (станко-ч)
16x1+14x2+12x3+8x4≤240;
Условие неотрицательности:
x1≥0; x2≥0;x3≥0; x4≥0.
Итак, модель задачи:
Fx=30x1+28x2+26x3+32x4→max
6x1+5x2+4x3+2x4≤60,22x1+20x2+18x3+24x4≤600,16x1+14x2+12x3+8x4≤240,
x1≥0; x2≥0;x3≥0; x4≥0.
Решим задачу симплексным методом. Так как ограничения имеют вид неравенств и не содержат выделенный базис, добавим в уравнения дополнительные переменные x5, x6,x7:
6x1+5x2+4x3+2x4+x5=60,22x1+20x2+18x3+24x4+x6=600,16x1+14x2+12x3+8x4+x7=240,
xj≥0, j=1,7.
В целевую функцию дополнительные переменные x5, x6,x7 входят с коэффициентом 0:
Fx=30x1+28x2+26x3+32x4+0x5+0x6+0x7→max
Тогда базис будут образовывать переменные x5, x6,x7. Свободными переменными будут x1-4.
Выразим базисные переменные через свободные:
x5=60-6x1+5x2+4x3+2x4,x6=600-22x1+20x2+18x3+24x4,x7=240-16x1+14x2+12x3+8x4,
Fx=0-(-30x1-28x2-26x3-32x4-0x5-0x6-0x7)→max
xj≥0, j=1,7.
Заполним первую симплекс-таблицу.
Базис Cj
30 28 26 32 0 0 0 bi
Отношение
Cбаз
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x5
0 6 5 4 2 1 0 0 60 60/2=30
x6
0 22 20 18 24 0 1 0 600 600/24=25
x7
0 16 14 12 8 0 0 1 240 240/8=30
∆j
-30 -28 -26 -32 0 0 0 0
В последней строке среди оценок Δj есть отрицательные значения, следовательно, план X0 не является оптимальным (задача на максимум). Столбец x4, соответствующий максимальному по модулю отрицательному значению (-32), выбираем в качестве ведущего. Для положительных элементов ведущего столбца находим наименьшее из симплексных отношений θ=25, x6 – ведущая строка. Элемент 24 на пересечении ведущего столбца и ведущей строки – ведущий (разрешающий) элемент.
Последняя симплекс-таблица:
Базис Cj
30 28 26 32 0 0 0 bi
Cбаз
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x3
26 5/3 4/3 1 0 2/5 –1/30 0 4
x4
32 –1/3 –1/6 0 1 –3/10 1/15 0 22
x7
0 –4/3 –2/3 0 0 –12/5 –2/15 1 16
∆j
8/3 4/3 0 0 4/5 19/15 0 808
2) Определить по последней симплекс-таблице план выпуска товаров, максимизирующий прибыль предприятия. Какова максимальная прибыль, будут ли остатки ресурсов и какие?
В последней строке среди оценок Δj отрицательных оценок больше нет.
X*=x1=0,x2=0,x3=4,x4=22,x5=0,x6=0,x7=16
оптимален. В оптимальном плане расширенной задачи дополнительные переменные равны нулю, получаем оптимальный план исходной задачи
X*=x1*=0,x2*=0,x3*=4,x4*=22.
Максимальное значение прибыли равно FX*=808 (ден.ед.)
Дополнительные переменные x5, x6,x7 - остатки ресурсов.
x5=0; x6=0; x7=16.
Таким образом, останется 16 станко-часов третьего ресурса Оборудование.
3) Выявим дефицитные ресурсы и определим, на какую сумму изменится суммарная прибыль при увеличении каждого из дефицитных ресурсов на соответствующую ему единицу .
Чтобы определить дефицитные ресурсы, найдем значения двойственных оценок (теневые цены) по последней строке последней симплекс-таблицы:
Базис Cj
30 28 26 32 0 0 0 bi
Cбаз
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x3
26 5/3 4/3 1 0 2/5 –1/30 0 4
x4
32 –1/3 –1/6 0 1 –3/10 1/15 0 22
x7
0 –4/3 –2/3 0 0 –12/5 –2/15 1 16
∆j
8/3 4/3 0 0 4/5 19/15 0 808
Так как ограничений в исходной задаче было 3, то и двойственных переменных также 3.
y1*=45; y2*=1915; y3*=0.
Таким образом, дефицитными ресурсами будут ресурсы с ненулевыми двойственными оценками: первый ресурс (сырье) и второй ресурс (рабочая сила). Третий ресурс (оборудование) недефицитен.
При увеличении первого ресурса (сырье) на единицу, значение суммарной прибыли вырастет на 45= ден. ед.
При увеличении второго ресурса (рабочая сила) на единицу, значение суммарной прибыли вырастет на 1915 ден. ед.
4) Что произойдет с оптимальным планом (указать его), если в исходной задаче прибыль от реализации одной единицы первого и второго товара составит по 34, а третьего и четвертого – по 26?
Первая симплекс-таблица:
Базис Cj
34 34 26 26 0 0 0 bi
Отношение
Cбаз
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x5
0 6 5 4 2 1 0 0 60 60/6=10
x6
0 22 20 18 24 0 1 0 600 600/22=300/11
x7
0 16 14 12 8 0 0 1 240 240/16=15
∆j
-34 -34 -26 -26 0 0 0 0
В базис вводим переменную x1, выводим x5.
Вторая симплекс-таблица:
Базис Cj
34 34 26 26 0 0 0 bi
Отношение
Cбаз
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
34 1 5/6 2/3 1/3 1/6 0 0 10 10/(1/3)=30
x6
0 0 5/3 10/3 50/3 -11/3 1 0 380 380/(50/3)=114/5
x7
0 0 2/3 4/3 8/3 -8/3 0 1 80 80/(8/3)=30
∆j
0 -17/3 -10/3 -44/3 17/3 0 0 340
В базис вводим переменную x4, выводим x6.
Третья симплекс-таблица:
Базис Cj
34 34 26 26 0 0 0 bi
Отношение
Cбаз
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x1
34 1 4/5 3/5 0 6/25 -1/50 0 12/5 12/5/(4/5)=3
x4
26 0 1/10 1/5 1 -11/50 3/50 0 114/5 114/5/(1/10)=228
x7
0 0 2/5 4/5 0 -52/25 -4/25 1 96/5 96/5/(2/5)=48
∆j
0 -21/5 -2/5 0 61/25 22/25 0 3372/5
В базис вводим переменную x2, выводим x1.
Четвертая симплекс-таблица:
Базис Cj
34 34 26 26 0 0 0 bi
Cбаз
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x2
34 5/4 1 3/4 0 3/10 -1/40 0 3
x4
26 -1/8 0 1/8 1 -1/4 1/16 0 45/2
x7
0 -1/2 0 1/2 0 -11/5 -3/20 1 18
∆j
21/4 0 11/4 0 37/10 31/40 0 687
В последней строке среди оценок Δj отрицательных оценок больше нет.
X*=x1=0,x2=3,x3=0,x4=452,x5=0,x6=0,x7=18
оптимален. В оптимальном плане расширенной задачи дополнительные переменные равны нулю, получаем оптимальный план исходной задачи
X*=x1*=0,x2*=3,x3*=0,x4*=452.
Максимальное значение прибыли равно FX*=687 (ден.ед.)
5) Как изменится оптимальный план, если предприятию предложить производство пятого товара xн с технологическими характеристиками Aн = (4; 18; 12) и прибылью от реализации 1 ед