Предприятие располагает ресурсами двух видов в количестве 120 и 80 единиц соответственно. Эти ресурсы используются для выпуска продукции двух видов, причем расход на изготовление единицы продукции первого вида составляет 2 ед. ресурса первого вида и 2 ед. ресурса второго вида; единицы продукции второго вида — 3 ед. ресурса первого вида и 1 ед. ресурса второго вида. Цена единицы продукции первого вида — 10 тыс. руб., второго вида — 15 тыс. руб. Установлено, что спрос на продукцию первого вида никогда не превышает 22 шт. в сутки.
1. Определить план производства продукции обоих видов, обеспечивающий наибольший доход предприятию.
2.Установить, какой из ресурсов наиболее дефицитен и почему.
3. Если спрос на изделия первого вида снизится до 15 шт. в сутки, как это повлияет на решение?
4. Если цена изделия второго вида снизится до 8 тыс. рублей, как это повлияет на решение?
Ответ
необходимо производить 20 ед продукции вида 1, и 76/3 ед продукции вида 2, чтобы получить максимальную прибыль в размере 600 ден ед. или необходимо производить 40 ед продукции вида 2, чтобы получить максимальную прибыль в размере 600 ден ед
Решение
Условия задачи оформим в виде таблицы.
Вид ресурсов Нормы расхода ресурса на одно продукции, ед Общее количество ресурсов, ед
1 2
I 2 3 120
II 2 1 80
Прибыль от реализации одного изделия, ден. ед. 10 15
Построим математическую модель задачи.
Пусть х1-количество продукции вида1, ед, х2 - количество продукции вида 2, ед запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (2 х1 +3х2) единиц ресурса I, (2х1 +х2) единиц ресурса II, Так как, потребление ресурсов I, II не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
2x1+3х2≤1202x1+х2≤80x1≤22
По смыслу задачи переменные х1 ≥ 0, х2 ≥0.
Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2.
Суммарная прибыль составит 10х1 от реализации продукции 1 и 15х 2 от реализации продукции 2, то есть : F = 10х1 +15х 2. →max.
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств.
Границей неравенства 2x1+3х2≤120 является прямая 2x1+3х2=120 , построим ее по двум точкам:
х1 0 60
х2 40 0
Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенству2x1+3х2≤120, поэтому областью решения неравенства будут точки, лежащие ниже прямой 2x1+3х2=120 . Область решения обозначим штриховкой.
Границей неравенства 2x1+х2≤80 является прямая 2x1+х2=80, построим ее по двум точкам:
х1 0 40
х2 80 0
Произвольная точка (0; 0) удовлетворяет неравенству 2x1+х2≤80, поэтому областью решения неравенства будут точки, лежащие ниже прямой 2x1+х2=80
. Объединим полученную полуплоскость с ранее найденными ограничениями и с ограничением x1≤22. Область решения обозначим штриховкой.
.
Общая часть всех полуплоскостей область АВСD является областью решений системы линейных неравенств
Строим вектор-градиент целевой функции FX=10x1+15x2:∇F=10;15.
(координаты вектора-градиента – частные производные функции ).
Проводим линию линейной функции перпендикулярно вектору-градиенту.
Для отыскания точки, соответствующей максимальному значению функции, сдвигаем линию уровня параллельно самой себе в направлении, указанном вектором ∇F.
Так как линия цели параллельна прямой 2x1+х2=80, то максимального значения функция достигает в двух точках: F(В) и FD, В0,40, D(22,763)
Fmax=FD=F(B)=600.
Решим задачу симплекс –методом
Избавимся от неравенств в ограничениях, введя балансовые переменные:
2x1+3х2+x3=602x1+х2+x4=32x1+x5=22
В полученной системе ограничений базисными переменными являются x4, x5, x3.
Формируем начальную симплекс-таблицу:
Базисные переменные х1 х2 х3 х4 х5 Свободные члены
х4 2 3 1 0 0 120
х5 2 1 0 1 0 80
х6 1 0 0 0 1 22
F -10 -15 0 0 0
За ведущий выберем столбец 2, так как -15 наименьший элемент в F строке.
За ведущую выберем строку 1, так как отношение свободного члена к соответствующему элементу выбранного столбца для второй строки является наименьшим.
Базисные переменные х1 х2 х3 х4 х5 Свободные члены отношение
х4 2 3 1 0 0 120 40
х5 2 1 0 1 0 80 80
х6 1 0 0 0 1 22 -
F -10 -15 0 0 0
Элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент и записываем в соответствующей по номеру строке новой таблицы: , при i = r.Все остальные элементы новой таблицы рассчитываем по формулам:
,при i ≠ r
где - элемент новой симплекс-таблицы, aij, - элемент предыдущей симплекс-таблицы, ark - разрешающий элемент , aik - элемент разрешающего столбца, arj - элемент разрешающей строки.
Базисные переменные х1 х2 х3 х4 х5 Свободные члены
Х2 2/3 1 1/3 0 0 40
х5 4/3 0 -1/3 1 0 40
х6 1 0 0 0 1 22
F 0 0 5 0 0 600
В строке F нет отрицательных элементов, значит, полученный план оптимален.
Оптимальный план: x1=0, x2=40, F=600.
В оптимальный план вошла дополнительная переменная x5 x5.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
