Предположим, что производственная функция, описывающая технологию
производства мороженого, имеет вид: Y = ƒ(x , x ) = 600 · x 2 x 2 x 3 x 3 , где x
– количество
первого фактора, x2 – количество второго фактора, используемых в производстве мороженого (x1, x2 > 0); Y – количество мороженого, выпускаемого за определенный период времени. Предположим, что в данный момент времени затраты второго фактора производства являются фиксированными, причем x2 = 10.
а) Напишите функцию общего продукта (TPx1). Чему будет равен объем выпуска мороженого при использовании фирмой 10 ед. первого фактора производства?
б) Напишите функцию среднего продукта (АРx1) и объясните ее экономический смысл. Определите, какое количество первого фактора следует использовать фирме, чтобы средний продукт был максимальным. Найдите максимальное значение среднего продукта.
в) Напишите функцию предельного продукта (МРx1) и объясните ее экономический смысл. Какое количество первого фактора следует использовать фирме, чтобы достичь максимально возможного объема выпуска? Каково будет это максимальное значение? Чему при этом равен предельный продукт?
г) Какое количество первого фактора следует использовать фирме, чтобы предельный продукт был максимальным. Чему при этом равны предельный и средний продукты? Чему будет равен предельный продукт при затратах первого фактора, максимизирующих значение среднего продукта? Охарактеризуйте взаимосвязь между средним и предельным продуктами переменного фактора производства.
Решение
Эластичность выпуска по i-му фактору производства приближённо показывает, на сколько процентов увеличится объем выпускаемого продукта (y), если затраты i-го фактора производства (xi) увеличатся на 1% при неизменных затратах остальных факторов
производства. Пусть дана производственная функция y = ƒ(x1, ….. xn ). Тогда эластичность выпуска по затратам i-го фактора можно рассчитать по следующей формуле:
Ei
y
xi
xi
y
, где i = 1, …. n.
В пределе при Δxi → 0 получаем:
Ei
y
xi
xi
y
, где i = 1, …. n.
а) Пусть технология производства описывается производственной функцией Кобба- Дугласа (К.Д.): y(x ,x )= A· x x , где A, α, β – положительные константы. Найти
1 212
эластичность выпуска по затратам первого и второго факторов производства. Объяснить
экономический смысл степенных коэффициентов (α и β) в функции Кобба-Дугласа.
б) Технология производства некоторого продукта такова, что может быть представлена функцией: Y=α·K + β·L+ +, где Y – объем выпуска, K – затраты капитала, L – затраты труда; α, β, > 0. Определить эластичность выпуска по затратам капитала и по труду.
Технология производства описывается производственной функцией Кобба-Дугласа:
y(x , x ) = x x , где 0 < α < 1; 0 < β < 1, (α + β) = 1, x – количество первого, а x –
121212
количество второго факторов производства, y – объём выпуска; x1, x2, y > 0.
а) Покажите, что предельный продукт каждого из факторов производства является положительной величиной МРi > 0 i =1,2; и убывает при увеличении затрат данного фактора.
б) Покажите, что предельная норма технологического замещения одного, например, i-го фактора производства другим, скажем, j-м фактором MRTSj,i = МРi / МРj = -dxj/dxi зависит
x j
только от отношения
xi , и убывает по мере замещения j-го фактора производства i-ым.
Производственная функция y = ƒ(x1, x2, … xn), определенная для всех x1, x2, … xn ≥ 0, является однородной степени k, если умножение количества всех факторов производства на параметр масштаба S > 0 приводит к увеличению объема выпуска в Sk раз: ƒ(Sx1,S x2,
…Sxn) = Skƒ(x1, x2, … xn)
. Покажите, что для однородной производственной функции коэффициент эластичности масштаба равен степени однородности производственной функции, т.е. E = k.
Для производственной функции с постоянной эластичностью масштаба (Constant Elasticity of Substitution или CES-function):
pp p
x(1) x
y(x1, x2,)=1
2, где γ, δ,
, ε – константы вида: γ > 0, 0 ≤ δ ≤ 1,
0,≤
1, ε > 0; x1 и x2 – затраты первого и соответственно второго факторов производства, (x1, x2 ≥ 0), а y – объем выпуска:
а) определить предельные продукты первого и второго факторов производства МР1 и МР2;
б) определить предельную норму технологического замещения (MRTS21= МР1/ МР2) второго фактора производства первым;
в) показать, что характер отдачи от масштаба для данной функции зависит только от параметра ε.
г)* найти предельные условия, при которых функция CES переходит в функцию Кобба- Дугласа, в функцию Леонтьева (функцию совершенных комплементов), в функцию совершенных субститутов.
Пусть технология фирмы описывается производственной функцией Кобба-Дугласа
вида
f ( x , x ) xa xb , где a b 1 , a, b 0 .
121 2
(а)Выпишитезадачуфирмывкраткосрочномпериоде,считаяпервыйфактор фиксированным
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
