Предположим что производственная функция, описывающая технологию производства мороженого

Эластичность выпуска по i-му фактору производства приближённо показывает, на сколько процентов увеличится объем выпускаемого продукта (y), если затраты i-го фактора производства (xi) увеличатся на 1% при неизменных затратах остальных факторов
производства. Пусть дана производственная функция y = ƒ(x1, ….. xn ). Тогда эластичность выпуска по затратам i-го фактора можно рассчитать по следующей формуле:
Ei 
y
xi
 xi
y
, где i = 1, …. n.
В пределе при Δxi → 0 получаем:
Ei 
y
xi
 xi
y
, где i = 1, …. n.
а) Пусть технология производства описывается производственной функцией Кобба- Дугласа (К.Д.): y(x ,x )= A· x  x  , где A, α, β – положительные константы. Найти
1 212
эластичность выпуска по затратам первого и второго факторов производства. Объяснить
экономический смысл степенных коэффициентов (α и β) в функции Кобба-Дугласа.
б) Технология производства некоторого продукта такова, что может быть представлена функцией: Y=α·K + β·L+ +, где Y – объем выпуска, K – затраты капитала, L – затраты труда; α, β,  > 0. Определить эластичность выпуска по затратам капитала и по труду.
Технология производства описывается производственной функцией Кобба-Дугласа:
y(x , x ) = x  x  , где 0 < α < 1; 0 < β < 1, (α + β) = 1, x – количество первого, а x –
121212
количество второго факторов производства, y – объём выпуска; x1, x2, y > 0.
а) Покажите, что предельный продукт каждого из факторов производства является положительной величиной МРi > 0  i =1,2; и убывает при увеличении затрат данного фактора.
б) Покажите, что предельная норма технологического замещения одного, например, i-го фактора производства другим, скажем, j-м фактором MRTSj,i = МРi / МРj = -dxj/dxi зависит
x j
только от отношения
xi , и убывает по мере замещения j-го фактора производства i-ым.
Производственная функция y = ƒ(x1, x2, … xn), определенная для всех  x1, x2, … xn ≥ 0, является однородной степени k, если умножение количества всех факторов производства на параметр масштаба S > 0 приводит к увеличению объема выпуска в Sk раз: ƒ(Sx1,S x2,
…Sxn) = Skƒ(x1, x2, … xn) . Покажите, что для однородной производственной функции коэффициент эластичности масштаба равен степени однородности производственной функции, т.е. E = k.
Для производственной функции с постоянной эластичностью масштаба (Constant Elasticity of Substitution или CES-function):
pp p    

x(1) x
 
y(x1, x2,)=1
2, где γ, δ,
, ε – константы вида: γ > 0, 0 ≤ δ ≤ 1,
0,≤
1, ε > 0; x1 и x2 – затраты первого и соответственно второго факторов производства, (x1, x2 ≥ 0), а y – объем выпуска:
а) определить предельные продукты первого и второго факторов производства МР1 и МР2;
б) определить предельную норму технологического замещения (MRTS21= МР1/ МР2) второго фактора производства первым;
в) показать, что характер отдачи от масштаба для данной функции зависит только от параметра ε.
г)* найти предельные условия, при которых функция CES переходит в функцию Кобба- Дугласа, в функцию Леонтьева (функцию совершенных комплементов), в функцию совершенных субститутов.
Пусть технология фирмы описывается производственной функцией Кобба-Дугласа
вида
f ( x , x )  xa xb , где a  b  1 , a, b  0 .
121 2
(а)Выпишитезадачуфирмывкраткосрочномпериоде,считаяпервыйфактор фиксированным