Потребительский рынок и спрос. Функция полезности имеет вид U = XY2

6.1.
Необходимо определить предельные полезности, для этого извлекаем производные по Х и Y из функции полезности:
U’(x) = (X×Y2)’ = Y2
U’(y) = (X×Y2)’ = 2*X*Y
Подставляем полученные результаты и значения цен в систему уравнений:
U’(x)/U’(y)=Px/Py
X*Px + Y*Py = D
Получается следующее:
Y2 /(2*X*Y) =40/20
X*40 + Y*20 = 1000
После упрощения первое уравнение принимает вид:
Y/(2*X) =40/20
Y = 4 * X
Подставляем это значение во второе уравнение:
X*40 + X*80 = 1000
Объем товара Х составит:
X = 8,33
Объем товара Y:
Y = 4*8,33 = 33,32
Подставив значения объема товара Y и его цены в уравнение Y/(2*X) =40/20:
33,32/(2*Х) =Pх/20
Получаем следующую функцию:
Х = 333,2/Pх
Которая и будет функцией спроса товара Х:
Qdx = 333,2/Px
6.3
Получившаяся функция спроса это степенная функция вида:
Q = A * P-a.
А формула эластичности имеет вид:
Ed = Qd * P/Q
Поставив значения получаем значение эластичности:
Ed = (333,2 * P-1)’*P/(333,2 * P-1) = 333,2 *(-1) *P-1-1*P/(333,2*P-1) = -1
Из чего можно сделать вывод, что при росте цены на 1%, спрос уменьшиться на 1%.
6.4
Уравнение дохода при имеющихся ценах исходя из исходных данных:
X*40 + Y*20 = R
Из предыдущих расчетов имеем следующее соотношение:
Y = 4 * X
Преобразуем его:
X = 1/4 * X
Поставим в уравнение расчета дохода:
X*40 + 4 * X *20 = R
Получаем следующее выражение:
R = 120 * X
Это и есть уравнение Энгеля.
Это функция вида:
R = 120 * Х1
Как и в предыдущем пункте, ее эластичность равна степени аргумента = 1.
График:
Рис 3