Постройте поле корреляции. Построить регрессионные уравнения зависимости показателей

1. Для анализа исходных данных построим их графическую интерпретацию, представленную на рис.1. Введем на листе книги MS Excel исходные данные, вставим точечную диаграмму, выбрав подготовленные данные для ее построения. Получим поле корреляции значений зависимой переменной от независимой переменной .
Рисунок 1 – Поле корреляции значений
Исходя из визуального анализа рис.1 можно сделать следующие предположения:
- поскольку в среднем с увеличением значений независимого признака происходит увеличение в среднем значений результирующего признака , то можно сделать вывод о характере зависимости, а именно о наличии прямой (положительной) зависимости между этими признаками;
- поскольку поле корреляции значений сгруппировано достаточно нечетко, то можно предположить наличие слабой либо умеренной связи между признаками, при этом проведение условной оси симметрии в данном случае не позволяет сделать вывод о предпочтении какой-либо из видов нелинейных моделей регрессии, указанных в задании.
2. Построение и исследование модели парной степенной регрессии
Модель парной степенной регрессии может быть представлена уравнением вида . Для применения метода наименьших квадратов (МНК) для оценки параметров степенной модели ее следует линеаризовать, для линеаризации целесообразно применить метод натурального логарифмирования:
.
Применив свойства логарифмов, получим:
;
.
Введем замену переменных: , , . Тогда получим линеаризированную модель вида: .
Аналитически значения параметров и определяются с использованием формул:
, , ,
где ; ; ; .
Для удобства вычислений построим табл.2.
Таблица 2

1 0,7 3,9 -0,357 1,361 -0,485 3,716 0,184 0,034 0,090 0,047
2 0,68 3,9 -0,386 1,361 -0,525 3,707 0,193 0,037 0,090 0,049
3 0,59 3,8 -0,528 1,335 -0,704 3,662 0,138 0,019 0,040 0,036
4 0,25 3,7 -1,386 1,308 -1,814 3,399 0,301 0,090 0,010 0,081
5 0,63 3,6 -0,462 1,281 -0,592 3,683 -0,083 0,007 0,000 0,023
6 0,5 3,3 -0,693 1,194 -0,828 3,610 -0,310 0,096 0,090 0,094
7 0,46 3,3 -0,777 1,194 -0,927 3,584 -0,284 0,080 0,090 0,086
8 0,24 3,3 -1,427 1,194 -1,704 3,387 -0,087 0,008 0,090 0,026
Сумма 4,05 28,8 -6,015 10,228 -7,579 28,747 0,053 0,371 0,500 0,443
Ср.знач. 0,506 3,600 -0,752 1,278 -0,947         0,055
0,161
Тогда получим:
;
;
.
Таким образом, уравнение степенной регрессии имеет вид:
.
Выполним расчет смоделированных значений результата , а также оценим сумму квадратов остатков, определяя их по формуле . Также найдем квадраты отклонений значений результата от среднего и относительные отклонения . Результаты расчетов внесем в соответствующие столбцы табл.2.
Тесноту корреляционной связи для нелинейных моделей определяют через индекс корреляции (является аналогом линейного коэффициента корреляции), он определяется по формуле:
.
Коэффициент детерминации численно равен квадрату значения индекса корреляции:
.
В результате вычислений получим:
;
.
Полученное значение индекса корреляции согласно шкале Чеддока принадлежит интервалу , что свидетельствует о наличии умеренной корреляционной связи между признаками.
Значение коэффициента детерминации свидетельствует о том, что согласно степенной модели вариация результата на 25,7% определяется вариацией значения фактора , и на 74,3% - другими неучтенными факторами, что является показателем достаточно низкого качества подгонки модели.
Проведем оценку значимости коэффициента детерминации . Выдвинем гипотезы: . Также данный подход позволяет оценить адекватность выбранного уравнения, т.е. насколько правильно оно описывает (аппроксимирует) положение исходных точек на координатном поле. Такая оценка выполняется с помощью -критерия (критерия Фишера-Снедекора). Для вычисления значения используется формула:
Табличные значения критерия Фишера определим с помощью встроенной в Excel функции FРАСПОБР(0,05;1;6), где 0,05 – выбранный уровень значимости, 1 – количество включенных в модель факторов, 6 = – количество степеней свободы, =8 – количество наблюдений.
Подставив числовые значения в выше приведенную формулу, получим:
;
.
В результате вычислений верно неравенство , следовательно, уравнение степенной регрессии является статистически незначимым с вероятностью 0,95.
Выполним расчет средней ошибки аппроксимации для оценки точности модели по формуле:
Рассчитанное значение средней ошибки аппроксимации входит в рекомендованный диапазон (5-10%), что свидетельствует о достаточной точности модели. Расчетные значения отклоняются от исходных в среднем на 5,5%.
Оценим средний коэффициент эластичности:
;
.
Таким образом, при увеличении фактора на 1% от своей средней величины результат в среднем увеличится на 0,087%.
В данном случае частные коэффициенты эластичности будут равны среднему коэффициенту эластичности, т.к. он независим от значения фактора:
.
На рис.2 представлен график построенной зависимости на фоне поля корреляции.
Рисунок 2 – Результаты построения степенной модели
3. Построение и исследование модели парной показательной регрессии
Модель парной показательной регрессии может быть представлена в экспоненциальной форме уравнением вида . Для применения МНК для оценки параметров модели ее следует линеаризовать, для линеаризации целесообразно применить метод натурального логарифмирования:
.
Применив свойства логарифмов, получим:
;
, причем ;
.
Введем замену переменных: , . Тогда получим линеаризированную модель вида:
Тогда значения параметров определяются и с использованием формул:
, , .
По аналогии с ранее приведенным, выполним определение параметров показательной модели, результат вычислений представим в виде табл.3.
Таблица 3

1 0,7 3,9 1,361 0,953 3,761 0,139 0,019 0,090 0,036 0,167
2 0,68 3,9 1,361 0,925 3,743 0,157 0,025 0,090 0,040 0,162
3 0,59 3,8 1,335 0,788 3,664 0,136 0,019 0,040 0,036 0,141
4 0,25 3,7 1,308 0,327 3,378 0,322 0,104 0,010 0,087 0,060
5 0,63 3,6 1,281 0,807 3,699 -0,099 0,010 0,000 0,028 0,151
6 0,5 3,3 1,194 0,597 3,586 -0,286 0,082 0,090 0,087 0,119
7 0,46 3,3 1,194 0,549 3,552 -0,252 0,063 0,090 0,076 0,110
8 0,24 3,3 1,194 0,287 3,370 -0,070 0,005 0,090 0,021 0,057
Сумма 4,05 28,8 10,228 5,233 28,753 0,047 0,326 0,500 0,410
Ср.знач