Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи. Рассчитайте параметры уравнений степенной () и полулогарифмической () парной регрессии. Сделайте рисунки.
2. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом для каждой модели. Сделайте выводы. Оцените качество уравнений регрессии с помощью средней ошибки аппроксимации и коэффициента детерминации. Сделайте выводы.
3. По значениям рассчитанных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии. Дайте экономический смысл коэффициентов выбранного уравнения регрессии
4. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости =0,05.
Решение
1. Построим поле корреляции (рис.2.1).
Рис. 2.1
По виду расположения точек можно предположить, что имеется тесная положительная корреляционная зависимость.
2а. Построению степенной модели
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2.1)
предшествует процедура линеаризации. В данном случае линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
.
По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:
, MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2.2)
где Таким образом, степенная модель свелась к линейной модели с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез (см. пример 1).
Для расчетов используем данные таблицы 2.2
Таблица 2.2
u=lnx
v=lny
uv
u2 v2 A
1 3,091 4,575 14,141 9,555 20,928 86,194 10,806 11,140 116,767 1747,730 961
2 4,443 5,226 23,216 19,737 27,308 183,142 2,858 1,537 8,170 3040,596 3364
3 4,205 4,454 18,729 17,679 19,841 160,384 -74,384 86,494 5533,048 1048,753 1764
4 3,584 4,718 16,909 12,842 22,264 113,432 -1,432 1,279 2,052 212,215 256
5 3,045 3,951 12,030 9,269 15,612 83,987 -31,987 61,514 1023,171 1937,140 5776
6 3,689 4,883 18,012 13,608 23,842 120,296 11,704 8,867 136,981 59,350 16
7 3,664 4,949 18,130 13,422 24,490 118,610 22,390 15,880 501,321 88,176 169
8 3,664 5,063 18,547 13,422 25,630 118,610 39,390 24,931 1551,589 88,176 900
9 3,434 4,787 16,440 11,792 22,920 104,358 15,642 13,035 244,669 558,939 64
10 4,127 5,176 21,363 17,033 26,793 153,596 23,404 13,222 547,736 655,167 2401
11 3,584 4,663 16,712 12,842 21,748 113,432 -7,432 7,012 55,241 212,215 484
12 3,912 5,130 20,068 15,304 26,316 136,235 32,765 19,388 1073,547 67,815 1681
Итого 44,439 57,576 214,296 166,504 277,692 1492,277 43,723 264,296 10794,292 9716,272 17836
Среднее значение 3,703 4,798 17,858 13,875 23,141
s 0,402 0,347
s2 0,161 0,120
В соответствии с формулой (1.15) вычисляем
, .
В результате, получим линейное уравнение
.
Выполнив его потенцирование, находим искомое уравнение степенной регрессии:
. MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2.3)
Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретические значения результата .
2б. Построению полулогарифмической модели:
MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2.4)
также предшествует процедура линеаризации путем преобразования . В результате получается линейное уравнение регрессии:
. MACROBUTTON MTPlaceRef \* MERGEFORMAT SEQ MTEqn \h \* MERGEFORMAT (2.5)
Для расчетов используем данные таблицы 2.3
Таблица 2.3
y v=lnx
yv
v2 y2 A
1 97 3,091 299,8311 9,555 9409 88,40142 8,599 8,865 73,936 1568,048 961
2 186 4,443 826,3331 19,737 34596 175,8246 10,175 5,471 103,540 2287,189 3364
3 86 4,205 361,6036 17,679 7396 160,4332 -74,433 86,550 5540,302 1051,913 1764
4 112 3,584 401,3541 12,842 12544 120,2552 -8,255 7,371 68,148 59,982 256
5 52 3,045 158,3152 9,269 2704 85,39246 -33,392 64,216 1115,057 1815,402 5776
6 132 3,689 486,9321 13,608 17424 127,07 4,930 3,735 24,305 0,865 16
7 141 3,664 516,5622 13,422 19881 125,4324 15,568 11,041 242,350 6,592 169
8 158 3,664 578,8427 13,422 24964 125,4324 32,568 20,612 1060,647 6,592 900
9 120 3,434 412,0785 11,792 14400 110,5834 9,417 7,847 88,673 303,339 64
10 177 4,127 730,5028 17,033 31329 155,4167 21,583 12,194 465,840 751,674 2401
11 106 3,584 379,853 12,842 11236 120,2552 -14,255 13,448 203,210 59,982 484
12 169 3,912 661,1319 15,304 28561 141,5031 27,497 16,270 756,080 182,334 1681
Итого 1536 44,439 5813,34 166,504 214444 1536 0,000 257,620 9742,087 8093,913 17836
Среднее значение 128 3,703 484,445 13,875 17870,33
s 38,553 0,402
s2 1486,33 0,161
В соответствии с формулой (1.15) вычисляем
, .
В результате, получим уравнение полулогарифмической регрессии:
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
