Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
Рассчитайте параметры линейной регрессии.
Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения. 5. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.
Оцените статистическую значимость коэффициента регрессии и коэффициента корреляции.
Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.
Оцените полученные результаты, оформите выполненное задание в виде отчета.
Вариант 7
В таблице приведены статистические данные, описывающие зависимость уровня рентабельности (y) на предприятии от удельного веса продовольственных товаров (x) в товарообороте:
№ 1 2 3 4 5 6 7
Удельный вес продовольственных товаров в товарообороте, % 74,2 73,5 77,0 84,3 67,3 70,1 83,1
Уровень рентабельности, % 3,62 3,8 2,77 2,12 4,33 4,01 2,01
Решение
1. Строим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи.
Рис.1 Поле корреляции
По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличие связи. На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу, что между факторным признаком и результативным признаком существует обратная, линейная связь.
2. Рассчитаем параметры линейной регрессии.
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Чтобы найти оценки параметров модели воспользуемся 1МНК:
где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:
средние значения показателя и фактора:
среднее значение произведения показателя и фактора:
дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:
среднее значение квадратов фактора:
Таблица 1. Вспомогательные расчеты
74,2 3,62 268,604 5505,64 13,1044 3,45
73,5 3,8 279,3 5402,25 14,44 3,55
77 2,77 213,29 5929 7,6729 3,04
84,3 2,12 178,716 7106,49 4,4944 1,99
67,3 4,33 291,409 4529,29 18,7489 4,44
70,1 4,01 281,101 4914,01 16,0801 4,04
83,1 2,01 167,031 6905,61 4,0401 2,16
Сумма 529,5 22,66 1679,451 40292,29 78,5808 22,66
Ср. знач. 75,64 3,24 239,92 5756,04 11,23 3,24
Найдем компоненты 1МНК :
Находим оценки параметров модели:
Подставим найденные параметры в уравнение получим:
.
Вывод. Параметр показывает, что с увеличением удельного веса продовольственных товаров в товарообороте на 1 % уровень рентабельности на предприятии снижается в среднем на 0,14%.
3. Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Его можно определить по следующей формуле:
,
где ;
Вычислим :
Значения линейного коэффициента корреляции принадлежит промежутку [-1;1]
. Связь между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
менее 0,1 отсутствует линейная связь0,1 < rxy < 0,3: слабая; 0,3 < rxy < 0,5: умеренная; 0,5 < rxy < 0,7: заметная; 0,7 < rxy < 0,9: высокая; 0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
Вывод. Для нашей задачи r = - 0,979, что подтверждает вывод, сделанный ранее, что связь между признаками обратная, а также указывает на весьма высокую взаимосвязь между уровнем рентабельности на предприятии и удельным весом продовольственных товаров в товарообороте. Отрицательная величина свидетельствует об обратной связи между изучаемыми признаками. С увеличением удельного веса продовольственных товаров в товарообороте, уровень рентабельности на предприятии в среднем снижается.
Коэффициент детерминации определяется по формуле:
Вычислим:
Вывод. Множественный коэффициент детерминации , показывает, что около 95,8% вариации уровня рентабельности на предприятии учтено в модели и обусловлено влиянием удельного веса продовольственных товаров в товарообороте и на 4,2% — другими факторами, не включенными в модель.
74,2 3,62 3,45 0,17 0,030354 0,048128 2,081837
73,5 3,8 3,55 0,25 0,064012 0,066581 4,591837
77 2,77 3,04 -0,27 0,073389 0,097799 1,841837
84,3 2,12 1,99 0,13 0,018132 0,063517 74,94612
67,3 4,33 4,44 -0,11 0,012881 0,026212 69,60327
70,1 4,01 4,04 -0,03 0,000819 0,007138 30,72327
83,1 2,01 2,16 -0,15 0,02216 0,07406 55,60898
Сумма 529,5 22,66 22,66 0 0,221748 0,383435 239,3971
4. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения.
Теоретические (расчетные) значения результативного показателя получаем путем последовательной подстановки в уравнение регрессии .
Рассчитываем остатки, как разность фактических и расчетных значений:
Для оценки точности модели рассчитываем среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Средняя ошибка аппроксимации по формуле:
Найдем величину средней ошибки аппроксимации :
.
Вывод. В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 5,48% поскольку ошибка меньше 10%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
