Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи

Таблица 1
№ у х
1 6,9 289
2 8,7 334
3 6,4 300
4 8,4 343
5 6,1 356
6 9,4 289
7 11,0 341
8 6,4 327
9 9,3 357
10 8,2 352
11 8,6 381
1. Построим корреляционное поле: изобразим на графике точки – каждому значению факторного признака x отметим соответствующее значение результативного признака y.
По данному корреляционному полю можно предположить, что тесной линейной связи между признаками нет. Можно предположить наличие нелинейной зависимости или не очень тесной линейной.
2. Рассчитаем параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парных регрессий.
1) Линейная регрессия.
Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+bx используем метод наименьших квадратов МНК. Строим расчетную таблицу 2.
Таблица 2

1 289 6,9 1994,1 83521 47,61 7,642 -0,742 10,756 0,551
2 334 8,7 2905,8 111556 75,69 8,132 0,568 6,526 0,322
3 300 6,4 1920 90000 40,96 7,762 -1,362 21,281 1,855
4 343 8,4 2881,2 117649 70,56 8,230 0,170 2,021 0,029
5 356 6,1 2171,6 126736 37,21 8,372 -2,272 37,243 5,161
6 289 9,4 2716,6 83521 88,36 7,642 1,758 18,700 3,090
7 341 11 3751 116281 121 8,208 2,792 25,378 7,793
8 327 6,4 2092,8 106929 40,96 8,056 -1,656 25,875 2,742
9 357 9,3 3320,1 127449 86,49 8,383 0,917 9,863 0,841
10 352 8,2 2886,4 123904 67,24 8,328 -0,128 1,564 0,016
11 381 8,6 3276,6 145161 73,96 8,644 -0,044 0,512 0,002
Итого 3669 89,4 29916,2 1232707 750,04 89,4 0 159,72 22,403
Среднее значение 333,5 8,1 2719,7 112064,3 68,2 – – 14,5 2,5
28,49 1,46 – – – – – – 1,58
811,7 2,1 – – – – – –
Оценим параметры линейной модели. Модель будем рассматривать в виде :
, где
;
8,1 – 0,011 · 333,5 = 4,495.
Уравнение линейной парной регрессии: y = 4,495 + 0,011 x .
С увеличением зарплаты на 1 у.е. доля доходов, направленных на рост сбережений возрастает в среднем на 0,011%.
2) Степенная регрессия
Построению степенной модели y = axb предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризацию производим путем логарифмирования обеих частей уравнения.
ln y = ln a + b ln x
Вводим замену Y = ln y, C = ln a, X = ln x, тогда получим линейное уравнение
Y = C + b Х.
Для расчета параметров построим таблицу 3.
Таблица 3
№ X=lnx Y= lny
1 5,666 1,932 10,945 32,108 3,731 7,501 -0,601 8,703 0,361 1,506198
2 5,811 2,163 12,571 33,769 4,680 8,015 0,685 7,876 0,470 0,328017
3 5,704 1,856 10,588 32,533 3,446 7,630 -1,230 19,219 1,513 2,983471
4 5,838 2,128 12,424 34,079 4,529 8,113 0,287 3,416 0,082 0,07438
5 5,875 1,808 10,624 34,515 3,270 8,253 -2,153 35,288 4,633 4,109835
6 5,666 2,241 12,697 32,108 5,021 7,501 1,899 20,207 3,608 1,619835
7 5,832 2,398 13,984 34,011 5,750 8,091 2,909 26,442 8,460 8,252562
8 5,790 1,856 10,748 33,524 3,446 7,937 -1,537 24,022 2,364 2,983471
9 5,878 2,230 13,107 34,548 4,973 8,263 1,037 11,149 1,075 1,375289
10 5,864 2,104 12,338 34,382 4,427 8,210 -0,010 0,121 0,000 0,005289
11 5,943 2,152 12,787 35,317 4,630 8,513 0,087 1,009 0,008 0,223471
63,866 22,868 132,813 370,894 47,903 88,03 1,37 157,45 22,6 23,5
среднее 5,806 2,079 12,074 33,718 4,355 – – 14,3
 
0,087 0,181 – – – – – –
0,008 0,033 – – – – – –
Получим линейное уравнение: Y = -0,5817 + 0,4583 X.
Для того, чтобы вернуться к степенному уравнению проводим потенцирование:
0,5589, = 0,5589 x0,4583 - уравнение степенной регрессии.
3) экспоненциальная (показательная) регрессия
Экспоненциальная регрессия имеет уравнение , его можно записать в виде показательной функции , где .
Сводим модель к линейной путем логарифмирования уравнения : .
Обозначим .
Строим модель аналогично линейной, лишь вместо значений у берем значение . Параметр а при этом определяется как , а параметр b определяется как .
Таблица 4
№п/п -234957175500

1 289 1,932 558,2 83521 3,731 7,511 -0,611 8,849 0,373 1,506
2 334 2,163 722,5 111556 4,680 8,001 0,699 8,032 0,488 0,328
3 300 1,856 556,9 90000 3,446 7,628 -1,228 19,182 1,507 2,983
4 343 2,128 730,0 117649 4,529 8,103 0,297 3,534 0,088 0,074
5 356 1,808 643,8 126736 3,270 8,253 -2,153 35,288 4,634 4,110
6 289 2,241 647,6 83521 5,021 7,511 1,889 20,100 3,570 1,620
7 341 2,398 817,7 116281 5,750 8,080 2,920 26,542 8,524 8,253
8 327 1,856 607,0 106929 3,446 7,923 -1,523 23,794 2,319 2,983
9 357 2,230 796,1 127449 4,973 8,264 1,036 11,138 1,073 1,375
10 352 2,104 740,7 123904 4,427 8,206 -0,006 0,077 0,000 0,005
11 381 2,152 819,8 145161 4,630 8,548 0,052 0,606 0,003 0,223
сум  3669 22,868 7640,2 1232707 47,903 88,027   157,14 22,6 23
ср 333,5 2,079 694,6 112064,3 4,355 – – 14,3
 
28,490 0,181 – – – – – –
811,702 0,033 – – – – – –

Линейная функция имеет вид: .
5,002, показательная функция:
4) полулогарифмическая регрессия y = a + b ln x
Вводим замену X = ln x, тогда получим линейное уравнение
y = a + b Х.
Для расчета параметров построим таблицу 5.
Таблица 5
№ X=lnx y
1 5,666 6,9 39,1 32,108 47,6 7,629 -0,729 10,570 0,532 1,506
2 5,811 8,7 50,6 33,769 75,7 8,145 0,555 6,374 0,308 0,328
3 5,704 6,4 36,5 32,533 41,0 7,763 -1,363 21,290 1,857 2,983
4 5,838 8,4 49,0 34,079 70,6 8,240 0,160 1,901 0,026 0,074
5 5,875 6,1 35,8 34,515 37,2 8,373 -2,273 37,262 5,166 4,110
6 5,666 9,4 53,3 32,108 88,4 7,629 1,771 18,837 3,135 1,620
7 5,832 11 64,2 34,011 121,0 8,219 2,781 25,278 7,732 8,253
8 5,790 6,4 37,1 33,524 41,0 8,070 -1,670 26,092 2,789 2,983
9 5,878 9,3 54,7 34,548 86,5 8,383 0,917 9,860 0,841 1,375
5,864 8,2 48,1 34,382 67,2 8,333 -0,133 1,618 0,018 0,005
5,943 8,6 51,1 35,317 74,0 8,615 -0,015 0,175 0,000 0,223
63,866 89,4 519,4 370,894 750,0 89,40 0,00 159,26 22,4 23,46
средн 5,806 8,1 47,2 33,7 68,2 – – 14,5
 
0,087 1,460 – – – – – –
0,008 2,133 – – – – – –
Получим линейное уравнение: у = -12,581 + 3,567 X.
Логарифмическое уравнение: = -12,581 + 3,567 ln x .
5) Обратная регрессия.
Обратная функция:
Линеаризация: , обозначим
Тогда уравнение примет вид:
Для расчета параметров построим таблицу.
Таблица 6
№ х
1 289 0,145 41,9 83521 0,021 7,393 -0,493 7,140 0,243 1,506
2 334 0,115 38,4 111556 0,013 7,871 0,829 9,526 0,687 0,328
3 300 0,156 46,9 90000 0,024 7,504 -1,104 17,253 1,219 2,983
4 343 0,119 40,8 117649 0,014 7,975 0,425 5,065 0,181 0,074
5 356 0,164 58,4 126736 0,027 8,129 -2,029 33,255 4,115 4,110
6 289 0,106 30,7 83521 0,011 7,393 2,007 21,354 4,029 1,620
7 341 0,091 31,0 116281 0,008 7,951 3,049 27,715 9,294 8,253
8 327 0,156 51,1 106929 0,024 7,793 -1,393 21,762 1,940 2,983
9 357 0,108 38,4 127449 0,012 8,141 1,159 12,466 1,344 1,375
10 352 0,122 42,9 123904 0,015 8,081 0,119 1,457 0,014 0,005
11 381 0,116 44,3 145161 0,014 8,442 0,158 1,836 0,025 0,223
3669 1,398 464,8 1232707 0,184 86,671   158,83 23,1 23,462
Сред. 333,5 0,127 42,3 112064,27 0,017 – – 14,4
 
28,490 0,023 – – – – – –
811,702 0,001 – – – – – –
- уравнение обратной регрессии.
6) Гиперболическая регрессия.
Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид , оно линеаризуется при замене