Построить парную линейную модель используя МНК

1. Построим парную линейную модель, используя МНК. Дать интерпретацию параметров.
В общем виде однофакторная линейная эконометрическая модель записывается следующим образом:
где вектор наблюдений за результативным показателем;
вектор наблюдений за фактором;
неизвестные параметры, что подлежат определению;
случайная величина ( отклонение, остаток)
Ее оценкой является модель:
вектор оцененных значений результативного показателя;
оценки параметров модели.
Чтобы найти оценки параметров модели воспользуемся 1МНК:
где коэффициент ковариации показателя и фактора характеризует плотность связи этих признаков и разброс и рассчитывается за формулой:
средние значения показателя и фактора:
среднее значение произведения показателя и фактора:
дисперсия фактора характеризует разброс признаки вокруг среднего и рассчитывается за формулой:
среднее значение квадратов фактора:
Таблица 1
Вспомогательные расчеты

Белгородская область 1548 865,98 1340535 2396304 749919,6111 633,128
Брянская область 1200 328,81 394577 1440000 108118,64 459,166
Владимирская область 1366 440,54 601782 1865956 194078,126 542,148
Воронежская область 2328 943,60 2196691 5419584 890372,6375 1023,04
Ивановская область 1004 197,84 198631 1008016 39140,58251 361,187
Калужская область 1009 465,99 470181 1018081 217144,3408 363,687
Костромская область 637 180,29 114843 405769 32503,47088 177,727
Курская область 1107 428,44 474285 1225449 183561,939 412,676
Липецкая область 1144 580,50 664097 1308736 336984,8824 431,172
Орловская область 740 230,71 170723 547600 53225,35072 229,216
Рязанская область 1114 383,11 426785 1240996 146773,4177 416,175
Смоленская область 942 312,86 294711 887364 97879,49619 330,194
Тамбовская область 1016 331,63 336937 1032256 109979,2462 367,186
Тверская область 1270 441,65 560900 1612900 195057,8936 494,158
Тульская область 1479 636,13 940842 2187441 404666,0716 598,636
Ярославская область 1260 560,58 706328 1587600 314247,5708 489,16
Итого 19164 7328,66 9892847 25184052 4073653,28 7328,66
Средние значения 1197,75 458,04 618303 1574003 254603,33 458,04
373,36 211,66
139398,19 44801,48
Найдем компоненты 1МНК :

Находим оценки параметров модели:
Подставим найденные параметры в уравнение получим:
.
Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличениемчисленности населения на 1 тыс . чел. ВРП возрастает в среднем на 0,50 млрд. руб.
2. Рассчитаем коэффициент эластичности, проинтерпретируем его:
Увеличение численности населения (от своего среднего значения) на 1% увеличивает в среднем ВВП на 1,31%.
3. Рассчитаем коэффициент корреляции и детерминации, сформулируем вывод.
Для анализа полученной модели вычислим коэффициент корреляции по формуле:
где ,
Вычислим:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.  Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0,1 < rxy < 0,3: слабая; 0,3 < rxy < 0,5: умеренная; 0,5 < rxy < 0,7: заметная; 0,7 < rxy < 0,9: высокая; 0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
Для нашей задачи r = 0,882, что указывает на высокую взаимосвязь между ВВП и численности населения