Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии

Для построения уравнения множественной регрессии воспользуемся MS Excel: Данные – Анализ данных – Регрессия. В результате получим таблицу:
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,642
R-квадрат 0,412
Нормированный R-квадрат 0,31
Стандартная ошибка 38,62
Наблюдения 14
Дисперсионный анализ
  df
SS MS F Значимость F
Регрессия 2 11511,43 5755,716 3,860 0,054
Остаток 11 16403,99 1491,272
Итого 13 27915,42      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 21,45 83,78 0,26 0,80 -162,96 205,85
x1 -61,06 171,75 -0,36 0,73 -439,08 316,97
x2 44,22 22,82 1,94 0,08 -6,01 94,44
В результате получим уравнение множественной регрессии вида:
y=21,45-61,06х1+44,22х2
С помощью MS Excel: Данные – Анализ данных – Корреляция получим матрицу парных коэффициентов корреляции:
  y2 x1 x7
y2 1
x1 -0,4602 1
x7 0,636881 -0,62151 1
ryx1= -0,46, что свидетельствует о несильной линейной связи между х1 (трудоемкостью единицы продукции) и y (индексом снижения себестоимости продукции)
ryx2= -0,637, что свидетельствует об умеренной линейной связи между х2 (фондоотдачей активной части ОПФ, руб./руб.) и y (индексом снижения себестоимости продукции).
rх1x2= -0,622, что свидетельствует об умеренной линейной связи между х1 (трудоемкостью единицы продукции) и х2 (фондоотдачей активной части ОПФ, руб./руб.).
Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:
tj=yi-xjS(y)
Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.
Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:
ty = ∑βjtxj
Для оценки β-коэффициентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:
rx1y=β1+rx1x2•β2 + ... + rx1xm•βm
rx2y=rx2x1•β1 + β2 + ... + rx2xm•βm
...
rxmy=rxmx1•β1 + rxmx2•β2 + ... + βm
Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):
-0,46 = β1 -0,622β2
0,637 = -0,622β1 + β2
Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса:
β1 = -0,105; β2 = 0,572;
Искомое уравнение в стандартизованном масштабе:
ty=β1tx1+β2tx2
Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:
ty = -0,105x1 + 0,572x2
Частные коэффициенты эластичности, определяются по формуле:
Ei=bi*xiy
E1=-61,06*0,33965,52=-0,316
При изменении фактора х1 (трудоемкость единицы продукции) на 1%, у (индекс снижения себестоимости продукции) изменится на -0,316% . Частный коэффициент эластичности |E1| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак у незначительно.
E2=44,22*1,46465,52=0,988
При изменении фактора х2 (фондоотдачи активной части ОПФ, руб./руб.) на 1%, у (индекс снижения себестоимости продукции) изменится на 0,988%. Частный коэффициент эластичности |E2| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.
На основе рассчитанных частных коэффициентов эластичности можно заключить, что фактор х2 оказывает большее влияния на у, чем фактор х1.
Частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на у фактора xi определяются по следующим формулам:
– частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками x1 и у при исключении влияния признака x2 вычисляют по формуле:
– зависимость у от x2, при исключении влияния x1:
Взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:
где r – парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.
Произведем расчет частных коэффициентов корреляции:
ryx1/x2=-0,46-0,637*(-0,622)(1-0,6372)*(1-0,6222)=-0,107
Теснота связи низкая.
ryx2/x1=0,637-(-0,46)*(-0,622)(1-0,462)*(1-0,6222)=0,504
Теснота связи умеренная.
rx1x2/у=-0,622-(-0,46)*0,637(1-0,462)*(1-0,6372)=-0,48
Теснота связи несильная.
Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как очищают парную зависимость от взаимодействия данной пары признаков с другими признаками, представленными в модели.
Наиболее тесно связаны у и x2 и x1 и x2: ryx2x1=0,504; rx1x2y=-0,48. Все это приводит к выводу о необходимости исключить фактор x1 – трудоемкость единицы продукции – из правой части уравнения множественной регрессии.
Множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации были определены с помощью MS Excel:
R=0,642 – связь между у и факторами х1 и х2 умеренная.
Коэффициент детерминации:
R2=0,412, то есть 41,2 % изменения у (индекс снижения себестоимости продукции) объясняется изменением факторов х1 (трудоемкость единицы продукции) и х2 (фондоотдачи активной части ОПФ, руб./руб.). 58,8% изменчивости у объясняется факторами, не включенными в модель.
Проверим гипотезу об общей значимости - гипотезу об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:
H0: R2 = 0; β1 = β2 = ... = βm = 0.
H1: R2 ≠ 0.
Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью F-статистики распределения Фишера (правосторонняя проверка).
Если F < Fkp = Fα ; n-m-1, то нет оснований для отклонения гипотезы H0.
F=3,86
Табличное значение при степенях свободы k1 = 2 и k2 = n-m-1 = 14 - 2 - 1 = 11, Fkp(2;11) = 3,98
Поскольку фактическое значение F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим и уравнение регрессии статистически ненадежно.
Мерой оценки значимости улучшения качества модели, после включения в нее фактора хj, служит частный F-критерий – Fxj:
Fxj=R2-R2(x1xn)1-R2*(n-m-1)
Если наблюдаемое значение Fxj больше Fkp, то дополнительное введение фактора xj в модель статистически оправдано.
Оценим с помощью частного F-критерия целесообразность включения в модель регрессии факторов х1 после введения хj (Fx1).
Определим наблюдаемое значение частного F-критерия:
Fx1=0,4124-0,4061-0,4121*(14-2-1)=0,127
R2(x2,xn) = r2(x2) = 0,63692 = 0,406
Fkp(k1=1;k2=11) = 4,84
Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим:Fx1<4,84, следовательно, фактор х1 не целесообразно включать в модель после введения фактора х2.
Оценим с помощью частного F-критерия целесообразность включения в модель регрессии факторов х2 после введения хj (Fx2).
Определим наблюдаемое значение частного F-критерия:
Fx2=0,4124-0,2121-0,4121*(14-2-1)=3,754
R2(x1,xn) = r2(x1) = -0.46022 = 0,212
Сравним наблюдаемое значение частного F-критерия с критическим: Fx2<4,84, следовательно, фактор х2 не целесообразно включать в модель после введения фактора х1.
Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии с помощью t-статистики.
Tтабл (n-m-1;α/2) = (11;0,025) = 2,593
Значение t-статистики коэффициентов регрессии рассчитано с помощью MS Excel.
t0=0,256<2,593 - статистическая значимость коэффициента регрессии b0 не подтверждается.
t1=0,256<2,593 - статистическая значимость коэффициента регрессии b1 не подтверждается.
t2=1,938<2,593 - статистическая значимость коэффициента регрессии b2 не подтверждается.
Составим уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор – х2 (фондоотдача активной части ОПФ, руб./руб.).
С помощью MS Excel построим уравнение линейной регрессии: Данные – Анализ данных – Регрессия