Построить математическую модель следующей задачи экономической деятельности. Для этого:
Выявить проблему и сформулировать цель исследования.
Провести описание переменных экономического процесса или объекта.
Записать математическую формулировку функции цели.
Сформулировать ограничения накладываемые условиями задачи и записать систему ограничений.
Предложить метод решения.
4. Перед проектировщиками автомобиля поставлена задача сконструировать самый дешевый кузов, используя листовой материал, стекло и пластмассу. Основные характеристики материалов представлены в таблице.
Характеристики Материалы
Металл Стекло Пластмасса
Стоимость (тыс. руб./м2) 25 20 40
Масса (кг/м2) 10 15 3
Общая поверхность кузова (вместе с дверьми и окнами) должна составлять 14 м2; из них не менее 3,5 м2 и не более 5 м2 следует отвести под стекло. Масса кузова не должна превышать 150 кг, а масса пластмассы не должна превышать 20% от массы кузова. Металлическая составляющая поверхности кузова должна превышать стеклянную поверхность не менее, чем в два раза. Сколько металла, стекла и пластмассы должен использовать наилучший проект.
Ответ
необходимо 93/7 м2металла, 3,5м2стекла, 1,071м2пластмассы, чтобы получить кузов минимальной стоимости, которая составит 3484/7 денед.
Решение
Проблема заключается в ограниченных ресурсах для получения оптимального результата. Цель: Научиться составлять математическую модель и решать ее с помощью симплекс метода.
Описание переменных.x1– количество металла, м2x2– количество стекла, м2x3– количество пластмассы, м2
Функция цели.F(x) = 25x1+ 20x2+ 40x3→ min
Ограничения:
Общая поверхность кузоваx1+ x2+ x3≥ 14
Требования по стеклуx2 ≥ 3,5x2 ≤ 5
Ограничения по массе10x1 + 15x2 + 3x3 ≤ 150
Требования по массе пластмассы3x3 ≤ (10x1 + 15x2+ 3x3)*20%
Ограничения по поверхностиx1 ≥ 2x2
Система ограничений.x1 + x2 + x3 ≥ 1410x1 + 15x2 + 3x3 ≤ 1502x1 + 3x2 – 2,4x3 ≥ 0x1 - 2x2≥ 0x2 ≥ 3,5x2 ≤ 5x1, x2, x2 ≥ 0F(x) = 25x1 + 20x2 + 40x3 → min
Решим задачу симплекс методом
каноническая формаx1+x2+x3-x4 = 14 10x1+15x2+3x3+x5 = 150 2x1+3x2-2.4x3-x6 = 0 x1-2x2-x7 = 0 x2-x8 = 3.5 x2+x9 = 5 Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
1 1 1 -1 0 0 0 0 0 14
10 15 3 0 1 0 0 0 0 150
2 3 -2.4 0 0 -1 0 0 0 0
1 -2 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 -1 0 3.5
0 1 0 0 0 0 0 0 1 5
Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
В качестве базовой переменной можно выбрать x4. Получаем новую матрицу:
-1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -14
10 15 3 0 1 0 0 0 0 150
2 3 -2.4 0 0 -1 0 0 0 0
1 -2 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 -1 0 3.5
0 1 0 0 0 0 0 0 1 5
В качестве базовой переменной можно выбрать x5. В качестве базовой переменной можно выбрать x6. Получаем новую матрицу:
-1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -14
10 15 3 0 1 0 0 0 0 150
-2 -3 2.4 0 0 1 0 0 0 0
1 -2 0 0 0 0 -1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 -1 0 3.5
0 1 0 0 0 0 0 0 1 5
В качестве базовой переменной можно выбрать x7. Получаем новую матрицу:
-1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -14
10 15 3 0 1 0 0 0 0 150
-2 -3 2.4 0 0 1 0 0 0 0
-1 2 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 -1 0 3.5
0 1 0 0 0 0 0 0 1 5
В качестве базовой переменной можно выбрать x8. Получаем новую матрицу:
-1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 -14
10 15 3 0 1 0 0 0 0 150
-2 -3 2.4 0 0 1 0 0 0 0
-1 2 0 0 0 0 1 0 0 0
0 -1 0 0 0 0 0 1 0 -3.5
0 1 0 0 0 0 0 0 1 5
В качестве базовой переменной можно выбрать x9. Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (4,5,6,7,8,9). Выразим базисные переменные через остальные: x4 = x1+x2+x3-14 x5 = -10x1-15x2-3x3+150 x6 = 2x1+3x2-2.4x3 x7 = x1-2x2 x8 = x2-3.5 x9 = -x2+5 Подставим их в целевую функцию: F(X) = 25x1+20x2+40x3 Среди свободных членов bi имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является опорным. Вместо переменной x4 следует ввести переменную x3. Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
x3 14 1 1 1 -1 0 0 0 0 0
x5 108 7 12 0 3 1 0 0 0 0
x6 -33.6 -4.4 -5.4 0 2.4 0 1 0 0 0
x7 0 -1 2 0 0 0 0 1 0 0
x8 -3.5 0 -1 0 0 0 0 0 1 0
x9 5 0 1 0 0 0 0 0 0 1
F(X0) -560 -15 -20 0 40 0 0 0 0 0
Среди свободных членов bi имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является опорным. Вместо переменной x6 следует ввести переменную x1. Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
x3 6.36 0 -0.23 1 -0.45 0 0.23 0 0 0
x5 54.55 0 3.41 0 6.82 1 1.59 0 0 0
x1 7.64 1 1.23 0 -0.55 0 -0.23 0 0 0
x7 7.64 0 3.23 0 -0.55 0 -0.23 1 0 0
x8 -3.5 0 -1 0 0 0 0 0 1 0
x9 5 0 1 0 0 0 0 0 0 1
F(X1) -445.45 0 -1.59 0 31.82 0 -3.41 0 0 0
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
14 1 1 1 -1 0 0 0 0 0
108 7 12 0 3 1 0 0 0 0
-33.6 -4.4 -5.4 0 2.4 0 1 0 0 0
0 -1 2 0 0 0 0 1 0 0
-3.5 0 -1 0 0 0 0 0 1 0
5 0 1 0 0 0 0 0 0 1
Среди свободных членов bi имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является опорным. Вместо переменной x8 следует ввести переменную x2. Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
x3 7.16 0 0 1 -0.45 0 0.23 0 -0.23 0
x5 42.61 0 0 0 6.82 1 1.59 0 3.41 0
x1 3.34 1 0 0 -0.55 0 -0.23 0 1.23 0
x7 -3.66 0 0 0 -0.55 0 -0.23 1 3.23 0
x2 3.5 0 1 0 0 0 0 0 -1 0
x9 1.5 0 0 0 0 0 0 0 1 1
F(X2) -439.89 0 0 0 31.82 0 -3.41 0 -1.59 0
Среди свободных членов bi имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является опорным. Вместо переменной x7 следует ввести переменную x6. Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
x3 3.5 0 0 1 -1 0 0 1 3 0
x5 17 0 0 0 3 1 0 7 26 0
x1 7 1 0 0 0 0 0 -1 -2 0
x6 16.1 0 0 0 2.4 0 1 -4.4 -14.2 0
x2 3.5 0 1 0 0 0 0 0 -1 0
x9 1.5 0 0 0 0 0 0 0 1 1
F(X3) -385 0 0 0 40 0 0 -15 -50 0
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
7.159 0 0 1 -0.455 0 0.227 0 -0.227 0
42.614 0 0 0 6.818 1 1.591 0 3.409 0
3.341 1 0 0 -0.545 0 -0.227 0 1.227 0
-3.659 0 0 0 -0.545 0 -0.227 1 3.227 0
3.5 0 1 0 0 0 0 0 -1 0
1.5 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Выразим базисные переменные через остальные: x3 = x4-x7-3x8+3.5 x5 = -3x4-7x7-26x8+17 x1 = x7+2x8+7 x6 = -2.4x4+4.4x7+14.2x8+16.1 x2 = x8+3.5 x9 = -x8+1.5 Подставим их в целевую функцию: F(X) = 40x4-15x7-50x8+385 x3-x4+x7+3x8=3.5 3x4+x5+7x7+26x8=17 x1-x7-2x8=7 2.4x4+x6-4.4x7-14.2x8=16.1 x2-x8=3.5 x8+x9=1.5 При вычислениях значение Fc = 385 временно не учитываем. Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
0 0 1 -1 0 0 1 3 0
0 0 0 3 1 0 7 26 0
1 0 0 0 0 0 -1 -2 0
0 0 0 2.4 0 1 -4.4 -14.2 0
0 1 0 0 0 0 0 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 1 1
Базисные переменные : x3, x5, x1, x6, x2, x9 Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X0 = (7,3.5,3.5,0,17,16.1,0,0,1.5) Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
x3 3.5 0 0 1 -1 0 0 1 3 0
x5 17 0 0 0 3 1 0 7 26 0
x1 7 1 0 0 0 0 0 -1 -2 0
x6 16.1 0 0 0 2.4 0 1 -4.4 -14.2 0
x2 3.5 0 1 0 0 0 0 0 -1 0
x9 1.5 0 0 0 0 0 0 0 1 1
F(X0) 0 0 0 0 -40 0 0 15 50 0
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода. Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 min
x3 3.5 0 0 1 -1 0 0 1 3 0 1.17
x5 17 0 0 0 3 1 0 7 26 0 0.65
x1 7 1 0 0 0 0 0 -1 -2 0 -
x6 16.1 0 0 0 2.4 0 1 -4.4 -14.2 0 -
x2 3.5 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 -
x9 1.5 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1.5
F(X1) 0 0 0 0 -40 0 0 15 50 0 0
Пересчет симплекс-таблицы.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
x3 20/13 0 0 1 -35/26 -3/26 0 5/26 0 0
x8 0.65 0 0 0 3/26 1/26 0 7/26 1 0
x1 108/13 1 0 0 3/13 1/13 0 -6/13 0 0
x6 25.38 0 0 0 4.04 0.55 1 -0.58 0 0
x2 54/13 0 1 0 3/26 1/26 0 7/26 0 0
x9 11/13 0 0 0 -3/26 -1/26 0 -7/26 0 1
F(X1) -850/26 0 0 0 -595/13 -25/13 0 20/13 0 0
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся положительные коэффициенты.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 min
x3 20/13 0 0 1 -35/26 -3/26 0 5/26 0 0 520/65
x8 0.65 0 0 0 3/26 1/26 0 7/26 1 0 221/91
x1 108/13 1 0 0 3/13 1/13 0 -6/13 0 0 -
x6 25.38 0 0 0 4.04 0.55 1 -0.58 0 0 -
x2 54/13 0 1 0 3/26 1/26 0 7/26 0 0 108/7
x9 11/13 0 0 0 -3/26 -1/26 0 -7/26 0 1 -
F(X2) -850/26 0 0 0 -595/13 -25/13 0 20/13 0 0 0
Пересчет симплекс-таблицы.
Базис B x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9
x3 1.07 0 0 1 -10/7 -1/7 0 0 -5/7 0
x7 221/91 0 0 0 3/7 1/7 0 1 26/7 0
x1 66/7 1 0 0 3/7 1/7 0 0 12/7 0
x6 26.79 0 0 0 4.29 0.63 1 0 15/7 0
x2 3.5 0 1 0 0 0 0 0 -1 0
x9 1.5 0 0 0 0 0 0 0 1 1
F(X2) -36.43 0 0 0 -325/7 -65910/30758 0 0 -520/91 0
Среди значений индексной строки нет положительных
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
