Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Расчёт статически определимой балки на прочность
Исходные данные
а = 2,2 м, b = 2,4м, с = 0,8 м, d= 0,8 м, F1 = 12 кН, F2 = 12 кН, q1 = 12 кН/м,
q2 = 14 кН/м, m = 15 кН·м.
Требуется:
1. Записать общие выражения изгибающего момента и попереч-ной силы для каждого участка балки.
2. Построить эпюры изгибающего момента и поперечной силы и проверить правильность построения, используя дифференцированные зависимости.
3. По эпюре изгибающего момента схематично изобразить изогнутую ось балки.
4. Подобрать баку двутаврового поперечного сечения по максимальному значению изгибающего момента, приняв σу = 220 МПа.
5. По максимальному значению поперечной силы определить касательные напряжения на нейтральной оси и у места сопряжения горизонтальной полки и вертикальной стенки двутавра.
6. Построить эпюры нормальных и касательных напряжений в соответствующих наиболее напряжённых сечениях.
Рис.Х.6.1. Заданная схема балки
Решение
Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
1.1. Определение реакций опор.
Рис.Х.6.2. Расчётная схема
По уравнениям статического равновесия балки находим опорные силы реакций:
ΣМВ = 0, F1·c + m + RC·(a+b) - q1·(b + d)·[a + (b+d)/2] = 0, отсюда находим:
RC = {- F1·c - m + q1·(b+d)·[a + (b+d)/2]}/·(a+b) = {-12·0,8 - 15 + 12·(2,4+0,8)·[2,2 +
+ (2,4+0,8)/2]}/(2,2 + 2,4) = 26,37кН.
ΣМС = 0, F1·(c + a+ b) + m + q1·b2/2 - q1·d2/2 - RВ·(a+b) = 0, отсюда находим:
RВ = [ F1·(c +a+ b) + m + q1·b2/2 - q1·d2/2]/(a+b) = [12·(0,8 +2,2 + 2,4) + 15 + +12·2,42/2 - 12·0,82/2]/(2,2 + 2,4) = 24,03кН.
Проверка: ΣFiy = 0. RВ + RC - F1- q1·(b + d) = 24,03 + 26,37 - 12 - 12·(2,4 + 0,8) =
= 50,4 - 50,4 = 0, следовательно опорные реакции определены - правильно.
1.2. Изгибающие моменты и поперечные силы.
Разбиваем длину балки на четыре силовых участка (I, II, III и IV) и для каждого из них составляем аналитические выражения: Q = Q(z) и М = М(z), по которым определяем величины поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях.
Участок I (АВ): 0 ≤ z1 ≤ c = 0,8 м.
Q(z1) = - F1 = - 12,0 кН = const, следовательно QA = QлевB = - 12,0 кН.
М(z1) = - F1·z1 - уравнение наклонной прямой.
М(0) = МА = - F1·0 = 0,
М(0,8) = МлевВ = - 12,0·0,8 = - 9,6 кН·м.
Участок II (ВD): 0 ≤ z2 ≤ a = 2,2 м.
Q(z2) = - F1 + RВ = - 12,0 + 24,03 = 12,03 кН = const, следовательно
QправB = QD = 12,03 кН.
М(z2) = - F1·(c + z2) - m + RВ·z2- уравнение наклонной прямой.
М(0) = МправВ = - 12,0·(0,8 + 0) - 15 + RВ·0 = - 24,6 кН·м.
М(2,2) = МD = - 12,0·(0,8 + 2,2) - 15 + 24,03·2,2 = 1,89 кН·м.
Участок III (EC): 0 ≤ z3 ≤ d = 0,8 м.
Q(z3) = q1·z3 - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QE = q1·0 = 0,
Q(0,8) = QправC = 12,0·0,8 = 9,6 кН.
М(z3) = - q1·z23/2 - уравнение параболы
М(0) = МE = - q1·02/2 = 0,
М(0,8) = МС = - 12,0·0,82/2 = -3,84 кН·м.
Участок IV (CD): 0 ≤ z4 ≤ b = 2,4 м.
Q(z4) = q1·(d + z4) - RC - уравнение параболы
Q(0) = QлевC = 12·(0,8 + 0) - 26,37 = -16,77 кН.
Q(2,4) = QD = 12·(0,8 + 2,4) - 26,37 =12,03 кН, следовательно на этом участке поперечная сила меняет свой знак
. Определим при каком значении z0 это происходит:
Q(z0) = q1·(d + z0) - RC = 0, z0 = RC/q1 - d = 26,37/12 - 0,8 = 1,40 м.
М(z4) = - q1·(d +z4)23/2 + RC·z4 - уравнение параболы.
М(0) = МС = -12·(0,8 + 0)2/2 + RC·0 = -3,84 кН·м.
М(2,4) = MD = -12·(0,8 + 2,4)2/2 + 26,37·2,4 = 1,89кН·м.
М(z0) = М(1,4) = М0 = -12·(0,8 + 1,4)2/2 + 26,37·1,4 = 7,88 кН·м. По полученным результатам строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.
Рис.Х.6.3. Эпюры сил и моментов.
По эпюрам определим опасное сечение балки, то есть сечение, в котором действуют максимальный изгибающий момент и макси-мальная поперечная сила (по модулю)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
