Пользуясь выражениями для индукции создаваемой прямолинейным и круговым токами

Рассмотрим рисунок 8. Для определения магнитной индукции поля, создаваемого вторым участком проводника с током в токе О находящейся на расстоянии от его начала, воспользуемся законом Био – Савара - Лапласа:
(1)
Где - магнитная постоянная, - диэлектрическая проницаемость среды, принимаем как для вакуума .
Преобразуем выражение (1) так, чтобы можно было интегрировать по углу . Выразим длину элемента dl проводника через dα.
Согласно рисунку 8, запишем (2)
Учитывая, что , после подстановки (2) в (1), получаем:
(3)
r – величина переменная, зависящая от α и равна:
. (4)
Подставив (4) в (3), имеем:
(5)
Проинтегрируем уравнение (5), в пределах от до :
(6)
Рассмотрим рисунок 9. Выделим малый элемент полуокружности , который можно считать прямолинейным.
Применим закон Био – Савара – Лапласа:
(7)
Применяя правило «буравчика», имеем: По определению угла в радианном измерении
После подстановки в (7), получаем:
(8)
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (8):
(9)
Для второго прямолинейного участка аналогично первому прямолинейному участку получаем:
(10)
Применяя правило «буравчика» определяем направление векторов индукции магнитных полей каждого участка в точке О, все векторы имеют одинаковое направление, в плоскость рисунка.
По принципу суперпозиции полей, найдём модуль результирующего вектора магнитной индукции:
(11)
Учитывая, что , после подстановки (6), (9) и (10) в формулу (11), получаем:
(12)