Пользуясь критериями согласия χ2 (критерий Пирсона)

Рост, см Число мужчин, Эмпирические частоты, чел., fi
Середины интервалов, см xi
xifi
xi-x2fi
Нормированное отклонение от среднего
t= xi-xσ
Плотность стандартного нормального распределения
φt
Теоретические частоты, распределены по нормальному закону, чел.,
m'=Nhkσφt
(fi-mi')2mi'
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)
141-145 1 (141+145)/2= 143 1*143=
143 (143-180,66)2*1= 1418,17 (143-180,66)/12,53=-3,01 12πe--3.0122
=0,0044 662∙512,53∙0,0044=
1,15 1-1,1521,15
= 0,0199
146-150 7 (146+150)/2= 148 7*148=
1036 (148-180,66)2*7=
7466,09 (148-180,66)/12,53=-2,61 12πe--2,6122
=0,0134 662∙512,53∙0,0134=
3,53 7-3,5323,53
= 3,4172
151-155 12 (151+155)/2=153 12*153=1836 (153-180,66)2*12= 9179,98 (153-180,66)/12,53=-2,21 12πe--2,2122
=0,0349 662∙512,53∙0,0349=
9,22 12-9,2229,22
= 0,8392
156-160 17 158 2686 8728,01 -1,81 0,0778 20,54 0,6109
161-165 37 163 6031 11537,58 -1,41 0,1478 39,04 0,1064
166-170 60 168 10080 9614,42 -1,01 0,2395 63,26 0,1684
171-175 90 173 15570 5278,89 -0,61 0,3310 87,43 0,0754
176-180 107 178 19046 756,30 -0,21 0,3901 103,04 0,1518
181-185 87 183 15921 476,94 0,19 0,3920 103,57 2,6499
186-190 100 188 18800 5389,60 0,59 0,3360 88,77 1,4214
191-195 57 193 11001 8681,66 0,98 0,2456 64,88 0,9577
169-200 50 198 9900 15036,19 1,38 0,1531 40,44 2,2583
201-205 30 203 6090 14974,13 1,78 0,0814 21,50 3,3622
206-210 7 208 1456 5232,86 2,18 0,0369 9,75 0,7734
Сумма 662
119596 103770,85
16,8122
1 . Пользуясь критерием согласия χ2 (критерий Пирсона), установите, согласуются ли данные наблюдений c предположением о распределении роста мужчин по нормальному закону.
Нулевая гипотеза H0: распределение генеральной совокупности X подчинено нормальному закону Na,σ.
Наблюдаемое значение критерия:
χнабл2=i=1k(fi-mi')2mi'
fi-эмпирические частоты;mi'=Nhkσφti-теоретические частоты.
N=i=1kfi=662-объем выборки; hk=h=5-шаг hi=xi+1-xi.
Середины интервалов (3): xi=ai+bi2;
Найдем оценки числовых характеристик.
Выборочное среднее-несмещенная оценка математического ожидания (4):
x= 1Ni=1kxi∙fi=119596662≈180,66;
Исправленная выборочная дисперсия-несмещенная оценка дисперсии (5):
S2= 1N-1i=1kxi-x2∙fi=103770,85662-1≈156,99;
Исправленное среднее квадратическое отклонение-несмещенная СКО:
S=S2=156,99≈12,53
Плотность стандартного нормального распределения a=x=180,66; σ=S=12,53 (7):
φt=e-t222π, t=xi-xσ=xi-180,6612,53
Теоретические частоты (8): m'=662∙512,53φt.
Наблюдаемое значение критерия (9):
χнабл2=16,81
По таблице критических значений χ2 при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k=14-3=11 найдем χкр2=19,68