Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами радиусами R1 = 5 см и R2 = 8 см. Заряды сфер соответственно равны q1 = -2 нКл и q2 = 1 нКл. Определите напряженность и потенциал электростатического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях: 1) rl = 3 см; 2) r2 = 6 см; 3) r 3 = 10 см. Постройте графики качественных зависимостей Er(r) и (r).
Дано:
q1 =-2 нКл = -210-9 Кл
q2 = 1 нКл =110-9 Кл
R1 = 5 см = 0,05 м
R2 = 8см = 0,08 м
r1 = 3 см = 0,03 м
r2 = 6см = 0,06 м
r3 = 10см= 0,1 м
Er(r) – ?
(r) – ?
Ответ
Err1=0; Err2=-5103 Вм; Err3=-900 Вм;
r1=-247,5 В; r2=-187,5 В; r3=-90 В.
Решение
Определение напряженности
По теореме Гаусса поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность равен отношению суммарного заряда, заключенного внутри этой поверхности, и электрической постоянной.
SEdS=qi0.
Здесь 0 = 8,8510-12 Ф/м - электрическая постоянная,
Для концентрических заряженных сфер поле должно иметь сферическую симметрию, поэтому выберем поверхность интегрирования в виде сферы радиуса r, концентрическую проводящим сферам. Вектор напряженности, в силу симметрии, должен располагаться нормально к поверхности выбранной таким образом сферы интегрирования в любой ее точке. Теорему Гауса, для данного случая, можно записать в виде:
SErdS=qi0.
Здесь Er проекция вектора напряженности на радиус-вектор, проведенный из центра сферы.
В силу симметрии, модуль вектора напряженности на поверхности интегрирования при r = const должен иметь одинаковое значение, так как определяется на одинаковом расстоянии от центра, поэтому интеграл можно представить в виде:
SErrdS=ErrSdS=ErrS=Err4r2.
Таким образом:
Err4r2=qi0.
Err=qi40r2.
На рисунке пунктирной линией указано положение сферической поверхности интегрирования для трех точек a, b, c, заданных в условии
. Соответственно можно выделить три зоны, в зависимости от расстояния до центра, в которых напряженность поля рассчитывается по-разному, так как внутрь сферы интегрирования попадает разный заряд.
Зона a) 0< r < R1
Err=040r2;
Err=0;
Err1=0.
Зона b) R1 r < R2
Err=q140r22.
Err=-210-948,8510-121r2=-18r2 Вм.
На расстоянии от центра r = r2
Err2=-18(0,06)2=-5103 Вм.
Зона с) r R2
Err=q1+q240r2;
Err=-210-9+110-948,8510-12r2=-9r2 Вм.
На расстоянии от центра r = r3
Err3=-90,12=-900 Вм.
Определение потенциала
Чтобы найти разность потенциалов (r), воспользуемся формулой связи потенциала и напряженности, которая в данном случае имеет вид:
Err=-ddr.
Разделим переменные:
d=-Errdr;
Найдем разность потенциалов между двумя точками, лежащими вдоль радиуса:
12d=-12Errdr.
Проведем расчет потенциала для выделенных зон.
Зона с) r R2
Для того, чтобы найти потенциал в точке r R2 выполним интегрирование от r до бесконечности и учтем, что на бесконечности потенциал принят равным нулю:
(r)0d=-r∞Edr.
-(r)=-r∞-9r2dr.
r=91∞-1r
r=-9r.
Потенциал в точке r3:
r3=-90,1=-90 (В).
Потенциал на сфере R2:
R2=-90,08=-112,5 (В).
Зона b) R1 r < R2
Зная потенциал на сфере R2, найдем потенциал некоторой точки, расположенной на расстоянии r от центра, но внутри данной зоны
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
